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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高中数学人教A版选修23章末综合测评1Word版含答案
章末综合测评(一)计数原理(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016·银川一中检测)C910+C810等于()A.45B.55C.65D.以上都不对【解析】C910+C810=C110+C210=55,故选B.【答案】B2.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种,故选D.【答案】D3.在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为()A.140B.240C.360D.800【解析】由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,知(x+1)5的展开式中x的系数为C45,常数项为1,(x+2)5的展开式中x的系数为C45·24,常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25+C45·24=240.【答案】B4.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()A.16种B.36种C.42种D.60种【解析】分两类.第一类:同一城市只有一个项目的有A34=24种;第二类:一个城市2个项目,另一个城市1个项目,有C23·C24·A22=36种,则共有36+24=60种.【答案】D5.(2016·广州高二检测)5人站成一排,甲乙之间恰有一个人的站法有()A.18种B.24种C.36种D.48种【解析】首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间,有3种可能,甲乙之间的人选出后,甲乙的位置可以互换,故甲乙的位置有2种可能,最后,把甲乙及其中间的那个人看作一个整体,与剩下的两个人全排列是A33=6,所以3×2×6=36(种),故答案为C.【答案】C6.关于(a-b)10的说法,错误的是()A.展开式中的二项式系数之和为1024B.展开式中第6项的二项式系数最大C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小【解析】由二项式系数的性质知,二项式系数之和为210=1024,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的.【答案】C7.图1(2016·潍坊高二检测)如图1,用五种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个不同的点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共()A.1240种B.360种C.1920种D.264种【解析】由于A和E或F可以同色,B和D或F可以同色,C和D或E可以同色,所以当五种颜色都选择时,选法有C13C12A55种;当五种颜色选择四种时,选法有C45C13×3×A44种;当五种颜色选择三种时,选法有C35×2×A33种,所以不同的涂色方法共C13C12A55+C45C13×3×A44+C35×2×A33=1920.故选C.【答案】C8.某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有()【导学号:97270029】A.1050种B.700种C.350种D.200种【解析】分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.所以不同的选购方法有C36C25+C26C35=350种.【答案】C9.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为()A.29B.49C.39D.59【解析】由于a0,a2,a4,a6,a8为正,a1,a3,a5,a7,a9为负,故令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=|a0|+|a1|+…+|a9|,故选B.【答案】B10.(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”,在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60B.48C.36D.24【解析】在长方体中,对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行,可构成3×12=36个“平行线面组”,对每一条面对角线,都有一个面与它平行,可组成12个“平行线面组”,所以“平行线面组”的个数为36+12=48,故选B.【答案】B11.(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的QQ号的后六位,但记得QQ号后六位是由一个1,一个2,两个5和两个8组成的,于是用这六个数随意排成一个六位数,输入电脑尝试,那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为()A.96B.180C.360D.720【解析】由这6个数字组成的六位数个数为A66A22A22=180,即最多尝试次数为180.故选B.【答案】B12.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大项是()A.15x3B.20x3C.21x3D.35x3【解析】令x=0,得a0=1,再令x=1,得2n=64,所以n=6,故展开式中系数最大项是T4=C36x3=20x3.故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.某科技小组有女同学2名、男同学x名,现从中选出3名去参加展览.若恰有1名女生入选时的不同选法有20种,则该科技小组中男生的人数为________.【解析】由题意得C12·C2x=20,解得x=5.【答案】514.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________.【解析】(1.05)6=(1+0.05)6=C06+C16×0.05+C26×0.052+C36×0.053+…=1+0.3+0.0375+0.0025+…≈1.34.【答案】1.3415.(2015·山东高考)观察下列各式:C01=40;C03+C13=41;C05+C15+C25=42;C07+C17+C27+C37=43;……照此规律,当n∈N*时,C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+Cn-12n-1=________.【解析】观察每行等式的特点,每行等式的右端都是幂的形式,底数均为4,指数与等式左端最后一个组合数的上标相等,故有C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+Cn-12n-1=4n-1.【答案】4n-116.(2014·安徽高考)设a≠0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图2所示,则a=________.图2【解析】由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4).故a0=1,a1=3,a2=4.由1+xan的展开式的通项公式知Tr+1=Crnxar(r=0,1,2,…,n).故C1na=3,C2na2=4,解得a=3.【答案】3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知Cxn=C2xn,Cx+1n=113Cx-1n,试求x,n的值.【导学号:97270030】【解】∵Cxn=Cn-xn=C2xn,∴n-x=2x或x=2x(舍去),∴n=3x.由Cx+1n=113Cx-1n,得n!x+1!n-x-1!=113·n!x-1!n-x+1!,整理得3(x-1)!(n-x+1)!=11(x+1)!(n-x-1)!,3(n-x+1)(n-x)=11(x+1)x.将n=3x代入,整理得6(2x+1)=11(x+1),∴x=5,n=3x=15.18.(本小题满分12分)利用二项式定理证明:49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.【证明】49n+16n-1=(48+1)n+16n-1=C0n·48n+C1n·48n-1+…+Cn-1n·48+Cnn+16n-1=16(C0n·3×48n-1+C1n·3×48n-2+…+Cn-1n·3+n).所以49n+16n-1能被16整除.19.(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?【解】(1)将取出4个球分成三类情况:①取4个红球,没有白球,有C44种;②取3个红球1个白球,有C34C16种;③取2个红球2个白球,有C24C26种,故有C44+C34C16+C24C26=115种.(2)设取x个红球,y个白球,则x+y=5,0≤x≤4,2x+y≥7,0≤y≤6,故x=2,y=3或x=3,y=2或x=4,y=1.因此,符合题意的取法共有C24C36+C34C26+C44C16=186种.20.(本小题满分12分)设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a10;(2)a6.【解】(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-1)10=1.(2)a6即为含x6项的系数,Tr+1=Cr10(2x)10-r·(-1)r=Cr10(-1)r210-r·x10-r,所以当r=4时,T5=C410(-1)426x6=13440x6,即a6=13440.21.(本小题满分12分)有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)排成前后两排,前排3人,后排4人;(2)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾;(3)全体站成一排,女生必须站在一起;(4)全体站成一排,男生互不相邻.【解】(1)共有A77=5040种方法.(2)甲为特殊元素.先排甲,有5种方法,其余6人有A66种方法,故共有5×A66=3600种方法.(3)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有A44种方法,再将4名女生进行全排列,有A44种方法,故共有A44×A44=576种方法.(4)(插空法)男生不相邻,而女生不做要求,所以应先排女生,有A44种方法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A35种方法,故共有A44×A35=1440种方法.22.(本小题满分12分)已知集合A={x|1log2x3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数?【解】由1log2x3,得2x8,又x∈N*,所以x为3,4,5,6,7,即A={3,4,5,6,7},所以A∪B={3,4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素,可以组成A36=120个三位数.(2)若从集合A中取元素3,则3不能作千位上的数字,有C35·C13·A33=180个满足题意的自然数;若不从集合A中取元素3,则有C14C34A44=384个满足题意的自然数.所以,满足题意的自然数的个数共有180+384=564.
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