高中数学人教A版选修41章末综合测评3Word版含解析

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图1，已知AB∥A′B′，BC∥B′C′，那么下列比例式成立的是()图1A.OA′OA＝OCOC′B.A′B′AB＝B′C′BCC.A′C′AC＝OCOC′D.ABA′B′＝OCCC′【解析】∵AB∥A′B′∴OA′OA＝OB′OB.同理OC′OC＝OB′OB，∴OA′OA＝OC′OC，∴A不成立．A′B′AB＝OB′OB＝B′C′BC，∴A′B′AB＝B′C′BC，∴B成立．由于OA′OA＝OC′OC，∴AC∥A′C′，∴A′C′AC＝OC′OC，∴C不成立．ABA′B′＝OBOB′＝OCOC′，∴D不成立．【答案】B2．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为()【导学号：07370057】A．4B.6C．24D．26【解析】由题意知PA·PB＝PC·PD，设PC＝x，则PD＝2x，∴2x·x＝4×12，∴x＝26，即PC＝26.【答案】D3．如图2，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则ACBC的值为()图2A.32B.94C.23D.49【解析】由题意得，CD2＝AD·BD，∴BD＝43.又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，则AC2BC2＝ADBD＝94，故ACBC＝32.【答案】A4．如图3，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()图3A．40°B．55°C．65°D．70°【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.【答案】B5．如图4，四边形BDEF是平行四边形，如果CD∶DB＝2∶3，那么S▱BDEF是S△ABC的()图4A.49B.613C.619D.1225【解析】因为DE∥AB，所以△CDE∽△ABC，所以S△CDES△ABC＝CDCB2.又CD∶DB＝2∶3，所以CD∶CB＝2∶5，所以S△CDES△ABC＝CDCB2＝252＝425，所以S△CDE＝425S△ABC.因为DE∥AB，所以CECA＝CDCB＝25，所以AEAC＝35.同理，S△AFE＝925S△ABC.所以S▱BDEF＝S△ABC－S△AFE－S△EDC＝S△ABC－925S△ABC－425S△ABC＝1225S△ABC.【答案】D6．如图5，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan∠BAC＝34，则阴影部分的面积为()图5A.252πB.252π－24C．24D.25π2＋24【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵tan∠BAC＝34，∴sin∠BAC＝35.又∵sin∠BAC＝BCAB，AB＝10，∴BC＝35×10＝6，AC＝43×BC＝43×6＝8，∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝12×π×52－12×8×6＝252π－24.【答案】B7．如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为()图6A.12B.33C.32D．非上述结论【解析】用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e＝sin30°＝12.【答案】A8．如图7，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20°，则∠ACB，∠DBC分别为()图7A．15°与30°B．20°与35°C．20°与40°D．30°与35°【解析】∵∠ADB＝20°，∴∠ACB＝∠ADB＝20°.又∵BC为⊙O的直径，∴的度数为180°－40°＝140°.∵D为的中点，∴的度数为70°，∴∠DBC＝70°2＝35°.【答案】B9．如图8，AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB＝6，CD＝25，则线段AC的长度为()图8A．5B.35C.30D．35【解析】连接BC，∵AB垂直平分CD，∴CP2＝AP·PB.设PB＝x，则AP＝6－x，∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(由题图可知，不合题意，舍去)，即AP＝5.又CP＝252＝5，∴AC＝25＋5＝30.【答案】C10．如图9，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为()图9A．2∶1B．1∶2C.2∶1D.3∶1【解析】连接BE，求△AEC与△ABD的面积比，即求AE2∶AB2的值．设AB＝a，∵∠A＝45°，CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，∴BE＝AB＝a，∴AE＝2a，∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.【答案】A11.如图10所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是()图10A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④【解析】如图所示，连接AB，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得图形是图①.当平面与AB垂直不过AB中点时，截得图形是两个同心圆，是图②.当平面经过轴AB时，截得的图形是图③.当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④.故有可能的图形是①②③④.【答案】D12．如图11，已知△ABC中，BDDC＝23，AEEC＝34，AD，BE交于F，则AFFD·BFFE的值为()图11A.73B.149C.3512D.5613【解析】过D作DG∥BE交AC于G.∵BDDC＝23，∴DCBC＝35，∴DGBE＝DCBC＝35，∴DG＝35BE.又EGEC＝BDBC＝25，∴EG＝25EC.又AEEC＝34，∴EC＝43AE，∴FEDG＝AEAG＝AEAE＋25EC＝AEAE＋25×43AE＝1523，∴FE＝1523DG＝1523×35BE＝923BE，∴BFFE＝149，AFFD＝AEEG＝158，∴AFFD·BFFE＝158×149＝3512.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12，点E，F分别在AD，BC上，已知CD＝2，EF＝3，AB＝5，若EF∥CD∥AB,则CFFB等于________．【导学号：07370058】图12【解析】如图，过C作CH∥DA交EF于G，交AB于H，则EG＝AH＝DC＝2，GF＝1，BH＝3.∵GF∥HB，∴CFCB＝GFHB＝13，∴CFFB＝12.【答案】1214．(2016·重庆七校联盟联考)如图13，半径为4的圆O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交圆O于点E，则线段DE的长为________．图13【解析】延长BO交圆O于点F，则DF＝6，BD＝2.由勾股定理得：AD＝16＋4＝25.由相交弦定理得：AD·DE＝FD·DB，所以25·DE＝12⇒DE＝65＝655.【答案】65515．一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e＝________.【解析】依题意，Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长，∴2a＝12，∴a＝6.又b＝r＝4，∴c＝a2－b2＝62－42＝25，∴椭圆的离心率e＝ca＝256＝53.【答案】5316．如图14，已知△ABC中，边AC上一点F分AC为AFFC＝23，BF上一点G分BF为BGGF＝32，AG的延长线与BC交于点E，则BE∶EC＝________.图14【解析】过F作FD∥AE交BC于D，如图所示，则CDDE＝CFAF＝32，DEEB＝FGGB＝23，故CD＝32DE，BE＝32DE，EC＝CD＋DE＝32DE＋DE＝52DE，从而BEEC＝35.【答案】3∶5三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·唐山二模)如图15所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．图15(1)求证：AB∥DE；(2)求证：2AD·CD.＝AC·BC.【证明】(1)连接BD，因为D为的中点，所以BD＝DC.因为E为BC的中点，所以DE⊥BC.因为AC为圆的直径，所以∠ABC＝90°，所以AB∥DE.(2)因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB，则∠DAC＝∠DCB.又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD，所以ACCD＝ADCE，AD·CD＝AC·CE,2AD·CD＝AC·2CE，因此2AD·CD＝AC·BC.18．(本小题满分12分)如图16，AB为⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，DC切⊙O于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，BD与AC交于点F，求证：FE∥AD.图16【证明】∵AB为⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD∥BC，∴ADBC＝AFFC.∵DC与⊙O切于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，∴AD＝DE，BC＝CE，∴DECE＝AFFC，∴FE∥AD.19．(本小题满分12分)如图17，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．图17【证明】连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝π2，所以BD∥CE，于是ABAC＝ADAE＝2r12r2＝r1r2，所以AB∶AC为定值．20．(本小题满分12分)如图18所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．图18【解】(1)证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.(2)设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①∵AD∥EC，∴DPPE＝APPC⇒9＋xy＝62.②由①②得，x＝3，y＝4或x＝－12，y＝－1(舍去)，∴DE＝9＋x＋y＝16.∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.21．(本小题满分12分)如图19，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE.求证：(1)AG·EF＝CE·GD；(2)GFAG＝EF2CE2.图19【证明】(1)如图，连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF＝∠AGD.∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF.∵G为弧BD的中点，∴∠DAG＝∠GDF，∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴CEEF＝AGGD，∴AG·EF＝CE·GD.(2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG·GF，由(1)知EF2CE2＝GD2AG2，∴GFAG＝EF2CE2.22．(本小题满分12分)如图20，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB＝10，AC＝12.(1)求证：BA·DC＝GC·AD；(2)求BM.图20【解】(1)证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB＝90°.又AD是圆O的直径，所以∠DCA＝90°，又因为∠BAG＝∠ADC(弦切角等于同弧所对圆周角)，所以△AGB∽△DCA，所以BAAD＝AGDC.又因为OG⊥AC，所以GC＝AG，所以BAAD＝GCDC，即BA·DC＝GC·AD.(2)因为AC＝12，所以AG