高中数学人教A版选修44阶段质量检测二A卷Word版含解析

阶段质量检测（二）A卷一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为x＝2t，y＝t(t为参数)，则下列点中在曲线上的是()A．(1,1)B．(2,2)C．(0,0)D．(1,2)解析：选C当t＝0时，x＝0且y＝0，即点(0,0)在曲线上．2．(北京高考)曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上解析：选B曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1,2)为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.3．直线l的参数方程为x＝a＋ty＝b＋t(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是()A．|t1|B．2|t1|C.2|t1|D.22|t1|解析：选C∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)，∴|P1P|＝a＋t1－a2＋b＋t1－b2＝t21＋t21＝2|t1|.4．已知三个方程：①x＝t，y＝t2，②x＝tant，y＝tan2t，③x＝sint，y＝sin2t(都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是()A．①②③B．①②C．①③D．②③解析：选B①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.5．参数方程x＝t＋1ty＝－2(t为参数)所表示的曲线是()A．一条射线B．两条射线C．一条直线D．两条直线解析：选B因为x＝t＋1t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，即x≤－2或x≥2，故是两条射线．6．已知曲线C的参数方程为x＝6＋4cosθy＝5tanθ－3(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M(14，a)在曲线C上，则a＝()A．－3－53B．－3＋53C．－3＋533D．－3－533解析：选A∵(14，a)在曲线C上，∴14＝6＋4cosθ①a＝5tanθ－3②由①得：cosθ＝12，又π≤θ＜2π.∴sinθ＝－1－122＝－32，∴tanθ＝－3.∴a＝5·(－3)－3＝－3－53.7．直线x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是()A．(－4,5)B．(－3,4)C．(－3,4)或(－1,2)D．(－4,5)或(0,1)解析：选C可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得－22＋22·|t|＝2，解得t＝±22，将t代入原方程，得x＝－3，y＝4或x＝－1，y＝2，所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)．8．若圆的参数方程为x＝－1＋2cosθ，y＝3＋2sinθ(θ为参数)，直线的参数方程为x＝2t－1，y＝6t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是()A．过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离解析：选B将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．9．设F1和F2是双曲线x＝2secθ，y＝tanθ(θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是()A．1B.52C．2D．5解析：选A方程化为普通方程是x24－y2＝1，∴b＝1.由题意，得|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|－|PF2|2＝4a2.∴2|PF1|·|PF2|＝4b2.∴S＝12|PF1|·|PF2|＝b2＝1.10．已知方程x2－ax＋b＝0的两根是sinθ和cosθ|θ|≤π4，则点(a，b)的轨迹是()A．椭圆弧B．圆弧C．双曲线弧D．抛物线弧解析：选D由题知sinθ＋cosθ＝a，sinθ·cosθ＝b，即a＝sinθ＋cosθ，b＝sinθ·cosθ.a2－2b＝(sinθ＋cosθ)2－2sinθ·cosθ＝1.又|θ|≤π4.∴表示抛物线弧．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．若直线l：y＝kx与曲线C：x＝2＋cosθ，y＝sinθ(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，由题意知，|2k－0|1＋k2＝1，∴k＝±33.答案：±3312．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析：由直线l的参数方程x＝t，y＝t－a(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程：y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以3－a＝0，即a＝3.答案：313．已知点P在直线x＝3＋4t，y＝1＋3t(t为参数)上，点Q为曲线x＝53cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最小值等于________．解析：直线方程为3x－4y－5＝0，由题意，点Q到直线的距离d＝|5cosθ－12sinθ－5|5＝|13cosθ＋φ－5|5，∴dmin＝85，即|PQ|min＝85.答案：8514．(天津高考)已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.解析：由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p0)，焦点Fp2，0，准线x＝－p2，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在Rt△EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋p2＝2p，得p＝2.答案：2三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)求曲线C1：x＝2t2＋1，y＝2tt2＋1.(t为参数)被直线l：y＝x－12所截得的线段长．解：曲线C1：x＝2t2＋1，①y＝2tt2＋1，②②①得t＝yx，代入①，化简得x2＋y2＝2x.又x＝2t2＋1≠0，∴C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．圆C1的圆心到直线l：y＝x－12的距离d＝1－0－122＝122.所求弦长为21－d2＝142.16．(本小题满分12分)已知实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，求t＝x＋y的最大值．解：方程x2＋(y－1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为x＝cosθ，y＝1＋sinθ.∴t＝x＋y＝cosθ＋sinθ＋1＝2sin(θ＋π4)＋1∴当sin(θ＋π4)＝1时tmax＝2＋1.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cosφ，y＝sinφ，(φ为参数)，曲线C2的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ，(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当α＝π4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－π4时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解：(1)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x2a2＋y2b2＝1.因此C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为2x′＋2xx′－x2＝25.18．(本小题满分12分)舰A在舰B的正东，距离6千米；舰C在舰B的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为203g3千米/秒，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5,23)．设海中动物为P(x，y)．因为|BP|＝|CP|，所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝33(x＋7)．又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x24－y25＝1.从而得P(8,53)．设∠xAP＝α，则tanα＝kAP＝3，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′，(如图)．|PA|＝10，设弹道曲线方程是x′＝v0tcosθy′＝v0tsinθ－12gt2(其中θ为仰角)将P(10,0)代入，消去t便得sin2θ＝32，θ＝30°或60°这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.19．(本小题满分12分)已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t是参数)，C：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ是参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t是参数)距离的最小值．解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1，C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ.C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|.从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取得最小值855.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ0)，求点P到直线l距离的最大值．解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ，4sinθ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝12(0＋4cosθ)＝2cosθ，y＝12(0＋4sinθ)＝2sinθ，所以点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)，因此点P的轨迹的参数方程为x＝2cosθy＝2sinθ，(θ为参数，且0≤θ≤2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为|