高中数学人教版必修5配套练习21数列的概念与简单表示法

第二章2.1一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是()①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关．A．①②B．①③C．②③D．③[答案]D[解析]①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D.2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数．②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．③数列的项数是无限的．④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是()A．①②B．①②③C．②③D．①②③④[答案]A[解析]数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是an＝sinnπ2，也可以是an＝cosn＋3π2等等．3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项()A．18B．21C．25D．30[答案]D[解析]依次令n(n＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D.4．已知数列{an}的通项公式是an＝n－1n＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列[答案]A[解析]an＝n－1n＋1＝1－2n＋1，随着n的增大而增大．5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1)D．an＝(－1)n(2n＋1)[答案]B[解析]当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B.6．已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的()A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项[答案]B[解析]调整为：2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又25＝20，∴应是11后的第3项，即第7项，选B.二、填空题7.23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是________．[答案]an＝2n2n－12n＋1[解析]23＝21×3，415＝2×23×5，635＝2×35×7，863＝2×47×9，1099＝2×59×11，…，∴an＝2n2n－12n＋1.8．已知数列3，7，11，15，19，…，那么311是这个数列的第________项．[答案]25[解析]观察可见，数列中的后一项被开方数比前一项大4，a1＝3，a2＝3＋4，a3＝3＋4×2，a4＝3＋4×3，∴an＝3＋4n－1＝4n－1，令4n－1＝311得n＝25，∴a25＝311.三、解答题9．写出下列数列的一个通项公式．(1)－11＋1，14＋1，－19＋1，116＋1，…；(2)2,3,5,9,17,33，…；(3)12，25，310，417，526，…；(4)1，43，2，165，…；(5)－13，18，－115，124，…；(6)2,6,12,20,30，….[解析](1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·1n2＋1.(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，∴an＝2n－1＋1.(3)a1＝12＝111＋1，a2＝25＝222＋1，a3＝310＝332＋1，a4＝417＝442＋1…，∴an＝nn2＋1.(4)a1＝1＝22，a2＝43，a3＝2＝84，a4＝165…，∴an＝2nn＋1.(5)a1＝－13＝－11×3，a2＝18＝12×4，a3＝－115＝－13×5，a4＝124＝14×6，∴an＝(－1)n·1nn＋2.(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．10．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，求a5.[解析]∵a1＝2，an＋1＝an＋n，∴当n＝1时，a2＝a1＋1＝2＋1＝3；当n＝2时，a3＝a2＋2＝3＋2＝5；当n＝3时，a4＝a3＋3＝5＋3＝8；当n＝4时，a5＝a4＋4＝8＋4＝12，即a5＝12.一、选择题1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－1[答案]A[解析]a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．2．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()[答案]A[解析]据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足yx，结合图象，只有A满足，故选A.3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是()A．an＝1＋(－1)n＋1B．an＝1－cosnπC．an＝2sin2nπ2D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)[答案]D[解析]当n＝1时，D不满足，故选D.4．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定[答案]A[解析]∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，∴f(2)f(1)，f(3)f(2)，f(4)f(3)，…，f(n＋1)f(n)，…，∴f(n)是递增数列．二、填空题5．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋2an1－an，则a6＝__________.[答案]－143[解析]an＋1＝2＋2an1－an＝21－an，a1＝－2，∴a2＝21－a1＝23，a3＝21－a2＝6，a4＝－25，a5＝107，a6＝－143.6．已知数列{an}的通项公式an＝3n＋1n为奇数2n－2n为偶数，则a2·a3＝__________.[答案]20[解析](1)可见偶数项为0，∴a12＝0.(2)相当于分段函数求值，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2·a3＝20.三、解答题7．已知数列{an}中，an＝nn＋1，判断数列{an}的增减性．[解析]an＋1＝n＋1n＋2，则an＋1－an＝n＋1n＋2－nn＋1＝n＋12－nn＋2n＋2n＋1＝1n＋2n＋1.∵n∈N*，∴n＋20，n＋10，∴1n＋2n＋10，∴an＋1an.∴数列{an}是递增数列．8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)求数列{an}中有多少项是负数？(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[解析](1)令an＝n2－5n＋40，解得1n4，∵n∈N＋，∴n＝2,3.即数列{an}中有两项是负数．(2)an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94，∴当n＝2或3时，an取得最小值，最小值为－2.