高二数学人教A版选修45学业分层测评3Word版含答案

学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D.[3lg2，＋∞)【解析】∵6＝x＋y＋z≥33xyz，∴xyz≤8.∴lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg8＝3lg2.【答案】B2．已知x∈R＋，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋axn≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为()A．nnB．2nC．n2D．2n＋1【解析】x＋axn＝＋axn，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.【答案】A3．设0x1，则x(1－x)2的最大值为()A.18B．1C.3183D.427【解析】∵0x1，∴01－x1，∴x(1－x)2＝12·2x·(1－x)·(1－x)≤122x＋1－x＋1－x33＝427.当且仅当x＝13时，等号成立．【答案】D4．已知a，b，c∈R＋，x＝a＋b＋c3，y＝3abc，z＝a2＋b2＋c23，则()【导学号：32750016】A．x≤y≤zB．y≤x≤zC．y≤z≤xD.z≤y≤x【解析】由a，b，c大于0，易知a＋b＋c3≥3abc，即x≥y.又z2＝a2＋b2＋c23，x2＝a＋b＋c29，且x2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋bc＋ca9≤3a2＋b2＋c29＝a2＋b2＋c23，∴x2≤z2，则x≤z，因此z≥x≥y.【答案】B5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为()A．2B．7C．8D.1【解析】∵6＝x＋3y＋4z＝x2＋x2＋y＋y＋y＋4z≥66x2y3z，∴x2y3z≤1，当x2＝y＝4z时，取“＝”，即x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.【答案】D二、填空题6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝a＋b2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．【解析】由题意知a＋(b*c)＝a＋b＋c2＝2a＋b＋c2，(a＋b)*(a＋c)＝a＋b＋a＋c2＝2a＋b＋c2，所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．【答案】a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋1a－2b－3的最小值为________．【解析】∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，则a＋b＋1a－2b－3＝(a－2)＋(b－3)＋1a－2b－3＋5≥33a－2×b－3×1a－2b－3＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝1a－2b－3，即a＝3，b＝4时等号成立．【答案】88．已知a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤127；②1abc≥27；③a2＋b2＋c2≥13.其中正确的不等式序号是________．【解析】∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥33abc，0abc≤133＝127，1abc≥27，从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥13，③正确．【答案】①②③三、解答题9．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋（1a＋1b＋1c）2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【证明】因为a，b，c均为正数，由算术­几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)23，①1a＋1b＋1c≥3(abc)-13.所以1a＋1b＋1c2≥9(abc)-23.②故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥3(abc)23＋9(abc)-23.又3(abc)23＋9(abc)-23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)23＝9(abc)-23时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝43时，原式等号成立．10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.(1)求1x＋1y＋1z的最小值；(2)证明：3≤x2＋y2＋z29.【解】(1)因为x＋y＋z≥33xyz0，1x＋1y＋1z≥33xyz0，所以(x＋y＋z)1x＋1y＋1z≥9，即1x＋1y＋1z≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时，1x＝1y＝1z取最小值3.(2)证明：x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋z2＋x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x23≥x2＋y2＋z2＋2xy＋yz＋zx3＝x＋y＋z23＝3.又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)0，所以3≤x2＋y2＋z29.[能力提升]1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥18πD．V≤18π【解析】设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝6－4r2，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·6－4r2＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋3－2r33＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．【答案】B2．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()【导学号：32750017】A．1B．2C．3D．4【解析】xy＋x2＝12xy＋12xy＋x2≥3312xy·12xy·x2＝3314x2y2＝3344＝3.【答案】C3．已知关于x的不等式2x＋1x－a2≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．【解析】∵2x＋1x－a2＝(x－a)＋(x－a)＋1x－a2＋2a.又∵x－a＞0，∴2x＋1x－a2≥33x－ax－a1x－a2＋2a＝3＋2a，当且仅当x－a＝1x－a2，即x＝a＋1时，取等号．∴2x＋1x－a2的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.【答案】24．如图1­1­3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1­1­3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．图1­1­3【解】设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，由图可有2h＋3x＝3，∴h＝32(1－x)，V＝S底·h＝6×34x2·h＝332x2·32·(1－x)＝9×x2×x2×(1－x)≤9×x2＋x2＋1－x33＝13.当且仅当x2＝1－x，即x＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13.