人教版高中数学必修五同课异构课件112余弦定理探究导学课型

1.1.2余弦定理1.掌握余弦定理及余弦定理的推导过程.2.了解余弦定理的几种变形公式.3.能熟练应用余弦定理解三角形及处理现实生活中的实际问题.余弦定理平方平方夹角两倍c2+a2-2ac·cosB222bca2bc222cab2ac1.已知a2+b2-c2=ab，则C=()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.因为cosC=，0°C180°，所以C=30°.3222abc3ab32ab2ab22.在△ABC中，已知b=2，c=3，A=60°，则a=()【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×cos60°=7，所以a=A.3B.2C.5D.77.3.在△ABC中，a=3，b=4，c=，则此三角形的最大角为.【解析】由cba知C最大，因为cosC=所以C=120°.答案：120°3722222abc343712ab2342，4.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，则S△ABC=.【解析】因为a2+b2=c2，所以△ABC是以C为直角的直角三角形，又因为A=30°，a=1，所以c=2，b=所以S△ABC=答案：22ca3，13ab.2232一、余弦定理及其证明探究1：如图，设那么向量c的平方是什么？表示为对应的边可以得到什么式子？提示：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b=a2+b2-2abcosC，所以c2=a2+b2-2abcosC.ABACBC，，，cba探究2：利用探究1的结论思考下面的问题：(1)已知三角形的三边a，b，c，如何表示cosC.提示：由探究1知c2=a2+b2-2abcosC，故cosC=(2)若C=90°，探究1的结论还成立吗？如果成立写出该结论，若不成立说明理由.提示：若C=90°，探究1的结论仍成立，即c2=a2+b2.222abc.2ab探究3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，请问两定理之间有何联系？提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况.【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和勾股定理证明余弦定理①当△ABC为锐角三角形时，如图，作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA，DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；②当△ABC为钝角三角形时，如图，作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=bsinA，DB=bcos(π-A)+c=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；③当△ABC为直角三角形时，易证余弦定理仍然成立.【探究总结】对余弦定理及其推论的两点说明(1)余弦定理适用于任意三角形，反映了三角形中三条边与一个内角的余弦之间严格确定的量化关系.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA还可改写为sin2A=sin2B+sin2C-2sinB·sinCcosA，有时应用它求三角函数值会很方便.二、余弦定理在解三角形中的应用探究1：根据余弦定理及其推论的形式，可以解哪两类三角形问题？提示：余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题：(1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边.(2)已知三角形的三条边就可以求出其角.探究2：根据下面的提示，写出角A的范围①在△ABC中，若a2b2+c2⇔.②在△ABC中，若a2=b2+c2⇔.③在△ABC中，若a2b2+c2⇔.提示：由余弦定理可知cosA=显然当a2b2+c2时，cosA0，即0°A90°，当a2=b2+c2时，A=90°，当a2b2+c2时，90°A180°.答案：①0°A90°②A=90°③90°A180°222bca2bc，【探究总结】对余弦定理解三角形的两点说明(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，可“知三求一”.(2)当已知两边和其中一边的对角时，一般采用正弦定理，但根据需要也可用余弦定理，解三角形时，要注意灵活应用.类型一利用余弦定理解三角形1.(2015·成都高二检测)在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则∠A=()A.60°或120°B.60°C.120°D.150°2.(2014·福建高考)在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于.3【解题指南】1.先利用等式变形，再利用余弦定理求出角A的余弦值，再求角A.2.直接应用余弦定理求解.【自主解答】1.选C.因为(a+c)(a-c)=b(b+c)，所以a2-c2=b2+bc，即b2+c2-a2=-bc，所以cosA=故A=120°.2.由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA，得3=AB2+4-2×2AB·cos60°，即AB2-2AB+1=0，解得AB=1.答案：1222bca12bc2，【规律总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧(1)已知三角形的两边及夹角解三角形，可以先由余弦定理求出第三条边，再由正弦定理求出一角，最后由A+B+C=180°，求出第三个角.(2)已知三角形的三边，可由余弦定理求三角形的两个内角，再由A+B+C=180°求出第三个角.上述两种情况，运用余弦定理时，因为是已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理可知，三角形是确定的，因而解唯一.【拓展延伸】解斜三角形的常见类型及解法已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角.在有解时只有一解.已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A+B+C=180°，求出角C.在有解时只有一解.两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.【变式训练】在△ABC中，a=2，b=-1，C=30°，求c及A，B的值.【解析】由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=22+(-1)2-2×2×(-1)cos30°=2，所以c=所以cosA=因为0°A180°，所以A=135°，所以B=180°-A-C=15°.332.2222223122bca2.2bc223123类型二判断三角形形状1.在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形2.在△ABC中，已知acosA+bcosB=ccosC，试判断△ABC的形状.【解题指南】1.将cosC=代入已知条件，转化为边的关系，化简变形即可判断△ABC的形状.2.将余弦定理的变形式代入，转化成边的关系，化简变形后判断三角形的形状.222abc2ab【自主解答】1.选B.因为a=2bcosC=2b·所以a2=a2+b2-c2，即b2=c2，所以b=c，所以△ABC为等腰三角形.2.由余弦定理，得所以a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)=c2(a2+b2-c2)，a2(b2-a2)+a2c2+b2(a2-b2)+b2c2=c2a2+b2c2-c4，即(a2-b2)2=c4，所以a2-b2=c2或a2-b2=-c2，即b2+c2=a2或a2+c2=b2.所以△ABC是直角三角形.222abc2ab222222222bcacababcabc.2bc2ca2ab【延伸探究】本例2中条件“acosA+bcosB=ccosC”若换为“asinA+bsinB=csinC”，其结论又如何呢？【解析】由正弦定理得所以所以即a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形.abc2RsinAsinBsinC，abcsinAsinBsinC2R2R2R，，，222abc2R2R2R，【规律总结】利用正、余弦定理判断三角形形状的技巧判断三角形的形状特征，必须从研究三角形边与边的关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断.【变式训练】在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断△ABC的形状.【解析】将已知等式变形得b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB·cosC，由余弦定理得即b2+c2=所以△ABC为直角三角形.222222222222abcacbbcb()c()2ab2ac222222222abcacba4a［］，222222acbabc2bc2ac2ab，类型三正弦定理、余弦定理的综合应用1.(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b+c=2a，且3sinA=5sinB，则角C=.2.(2014·盐城高二检测)如图，在△ABC中，B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.【解题指南】1.先由正弦定理找出a与b的关系，然后再结合已知条件b+c=2a，利用余弦定理即可求出角C.2.先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案.【自主解答】1.由题设条件可得由余弦定理得所以C=答案：5abbc2a33a5b7cb3，，，，222222257(b)b(b)abc133cosC52ab22b3－－，2.3232.在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC=所以∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得所以AB=答案：222ADDCAC12ADDC2，ABADsinADBsinB，56.2562【规律总结】利用正、余弦定理解决三角形中综合问题的常用思想方法(1)正弦定理和余弦定理从不同的侧面反映了三角形中的边角关系，揭示了三角形中元素间的内在联系，解题时一定要注意正、余弦定理的结合，可相互渗透，相互促进，它们是解决三角形问题的主要依据.(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题.【变式训练】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b2=ac，且a2-c2=ac-bc.(1)求角A的值.(2)求的值.bsinBc【解析】(1)因为b2=ac，a2-c2=ac-bc，所以b2+c2-a2=bc，在△ABC中，由余弦定理，得：cosA=所以A=60°.(2)在△ABC中，由正弦定理，得：sinB=因为b2=ac，A=60°，所以222bca12bc2，bsinA.a2bsinBbsin603sin60.cac2【拓展类型】利用正、余弦定理证明三角恒等式1.在△ABC中，求证：2.在△ABC中，求证：a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).【解题指南】1.从要证明的等式的左端出发，将切化弦，然后利用正、余弦定理即可证明该等式成立.2.从要证明的等式的右端出发，利用余弦定理即可证明.222222tanAacb.tanBbca【证明】1.左边==右边，等式得证.2.右边==b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2=a2+b2+c2=左边.sinAtanAsinAcosBcosAsinBtanBsinBcosAcosB