人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例122精讲优练课型

第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题【知识提炼】1.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线_____时叫仰角，目标视线在水平线_____时叫俯角，如图所示.上方下方2.方位角和方向角(1)方位角：从_____方向_______转到目标方向线所成的角.如图(1)目标A的方位角为135°.正北顺时针(2)方向角：从_____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图(2)，北偏东30°，南偏东45°.指定3.视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的_____，如图所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.夹角【即时小测】1.思考下列问题:(1)仰角和俯角都是与铅垂线所成的角吗？提示：不是.仰角和俯角都是与水平线所成的角.(2)方位角的范围是(0，π)吗？提示：不是.方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是(0，2π).2.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A.αβB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，因为两直线平行内错角相等，所以α=β.3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为()A.2h米B.h米C.h米D.2h米232【解析】选A.如图所示，BC=h，AC=h，所以AB==2h(米).3223hh4.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m333【解析】选D.在△ACD中，由正弦定理得AD==10(+1).在Rt△ABD中，AB=ADsin30°=5(+1)(m).10sin135sin15335.身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若李明此时的仰视角为30°，则该旗杆的高度约为________米.(精确到0.1米)【解析】h=+1.70≈13.2(米).答案：13.2203【知识探究】知识点高度和角度的测量问题观察图形，回答下列问题：问题1：如图1，求高度时，底可到达时，如何求解？问题2：如图2，图3，求高度时，底不可到达时，如何求解？【总结提升】测量高度问题时常见的三种数学模型及其特征(1)三种模型.底部可到达底部不可到达解直角三角形解直角三角形解一般三角形(2)特征.①底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.②底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.③底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面.此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.【题型探究】类型一高度问题【典例】1.(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=__________m.2.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得CD=200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD=30°，求塔高AB.【解题探究】1.典例1中，图中西偏北30°及西偏北75°的分别是哪个角？仰角为30°指的是哪个角？提示：图中西偏北30°即∠CAB=30°，西偏北75°即∠ABC的补角.仰角为30°即∠DBC=30°.2.典例2中，在△BCD中，已知CD，∠CBD，如何建立关于塔高的方程？提示：设AB=h，将BC与BD分别用h表示，在△BCD中，利用余弦定理建立关于塔高h的方程求解.【解析】1.在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-30°=45°，根据正弦定理知，即BC=×sin∠BAC=(m)，所以CD=BC×tan∠DBC=(m).答案：BCABsinBACsinACB，ABsinACB60013002222330021006310062.在Rt△ABC中，∠ACB=45°，设AB=h，则BC=h；在Rt△ABD中，∠ADB=30°，则BD=h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD，即2002=h2+(h)2-2·h·h·，所以h2=2002，解得h=200(h=-200舍去).即塔高AB为200米.33332【方法技巧】测量高度的一般步骤(1)根据已知条件画出示意图.(2)分析与问题有关的三角形.(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.(4)把解出的答案还原到实际问题中.【变式训练】(2015·潍坊高二检测)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=__________m.【解析】如图，在Rt△ABC中，BC=100，∠CAB=45°，所以AC=100.在△AMC中，∠CAM=75°，∠ACM=60°，所以∠AMC=45°.由正弦定理知所以AM=100.2AM1002sin60sin45，3在Rt△AMN中，∠NAM=60°，所以MN=AM·sin60°=100×=150(m).答案：150332【补偿训练】某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.【解题指南】解答时可以先依据题意画出图形，着重思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途观测点何处距塔底B距离最小.【解析】根据题意画出示意图，且BE⊥CD.在△BDC中，CD=40，∠BCD=30°，∠DBC=135°.由正弦定理，得所以BD=CDBDsinDBCsinDCB，40sin30202.sin135在Rt△BED中，∠BDE=180°-135°-30°=15°，所以BE=DBsin15°6220210(31).4在Rt△ABE中，∠AEB=30°，所以AB=BEtan30°=(米).故塔高为米.10(33)310(33)3类型二角度问题【典例】1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°2.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值.(结果保留根号，无需求近似值)【解题探究】1.典例1中，分析题中角的关系的关键是什么？提示：确定角的关系的关键是画出图形，并结合方向角的有关概念求解.2.典例2中，如何求∠ABC？提示：∠ABC=180°-15°-45°=120°.【解析】1.选B.如图，由题意，知AC=BC，∠ACB=80°，所以∠CBA=50°，α+∠CBA=60°.所以α=10°，即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.2.设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，∠ABC=180°-15°-45°=120°，由余弦定理得：(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×()，128t2-60t-27=0，解得t=或t=-(舍去)，1234932所以AC=21(海里)，BC=15(海里)，根据正弦定理，得sin∠BAC=cos∠BAC=又∠ABC=120°，∠BAC为锐角，所以θ=45°-∠BAC，BCsinABC53AC14，275111.1414sinθ=sin(45°-∠BAC)=sin45°cos∠BAC-cos45°sin∠BAC=11256.28【延伸探究】典例2中若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度.【解析】设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC=28t，BC=xt，∠CAB=30°，∠ABC=135°.由正弦定理得ACBCsinABCsinCAB，即所以(海里每小时).答：乙船的速度为14海里每小时.28txtsin135sin30，12828sin302x142sin135222【方法技巧】测量角度问题的基本思路(1)测量角度问题关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离.(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解.【拓展延伸】解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题.(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题.(3)把数学问题还原到实际问题中去.【变式训练】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为_______.【解析】在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800，所以BC=由正弦定理得，所以sin∠ACB=207，ABBCsinACBsinBAC，AB21sinBACBC7，由∠BAC=120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=由θ=∠ACB+30°，cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=故cosθ的值为.答案：27.721.1421142114【补偿训练】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，并在小岛B处与渔船相靠，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.3【解析】如图所示，设所需时间为t小时，则AB=10t，BC=10t，在△ABC中，由余弦定理得，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°，即(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°.整理得：2t2-t-1=0，解得t=1或t=-(舍去)，3312所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB=10，BC=10.3在△ABC中，由正弦定理得：所以sin∠CAB=所以∠CAB=30°.所以舰艇航行的方位角为75°.BCABsinCABsin120，310BCsin12012.AB2103易错案例正、余弦定理的综合应用【典例】某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，则这人能到达A城还要走_______千米【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解.【自我矫正】如图，令∠ACD=α，∠CDB=β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ=所以sinβ=又sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ222222BDCDCB20213112BDCD220217，4