人教版高中数学必修五同课异构课件12应用举例123精讲优练课型

第3课时三角形中的几何计算【知识提炼】三角形面积的常用公式(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).(2)S=absinC=bcsinA=casinB.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).1212121212【即时小测】1.思考下列问题:(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？提示：适用.三角形的面积公式对任意的三角形都成立.(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？提示：能.利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解.2.在△ABC中，∠A=45°，AB=1，AC=2，则S△ABC的值为()【解析】选B.S△ABC=AB·ACsinA=123A.B.C.D.23222122.23.已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为()A.75°B.60°C.45°D.30°【解析】选B.由×BC×ACsinC=3，得×4×3sinC=，所以sinC=.所以C=60°或120°.又△ABC是锐角三角形，所以C=60°.12123333234.边长为4的等边三角形的面积为__________.【解析】S=×4×4sin60°=4.答案：41233【知识探究】知识点三角形面积公式观察图形，回答下列问题：问题1：若AB=c，AC=b，BC=a，你发现△ABC的面积S可以直接用a，b，c表示吗？问题2：运用三角形面积公式时应注意哪些问题？【总结提升】1.运用三角形面积公式时应注意的问题(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式.(2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式.(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.2.处理三角形问题时常用公式(1)l=a+b+c(l为三角形的周长).(2)A+B+C=π.(3)S=aha(a为BC的边长，ha为BC边上的高).12(4)S=(R是三角形外接圆的半径).(5)S=2R2sinAsinBsinC(R是三角形外接圆的半径).(6)海伦公式：S=，其中p=(a+b+c).abc4Rp(pa)(pb)(pc)12【题型探究】类型一与三角形面积有关的计算问题【典例】1.(2015·福建高考)若锐角△ABC的面积为10，且AB=5，AC=8，则BC等于__________.2.已知△ABC中，若cosB=，C=，BC=2，则△ABC的面积为__________.3354【解题探究】1.典例1中，由三角形的面积及AB，AC的值可以求出何值？求BC的值采用哪个定理？提示：由三角形的面积及AB，AC的值可利用S△ABC=AB·AC·sinA=10，求出A.求BC的值可采用余弦定理.1232.典例2中，求△ABC的面积的思路是什么？提示：解答本题可先求出sinA，再用正弦定理求出AB，再利用S△ABC=·BC·AB·sinB，求△ABC的面积.12【解析】1.由S△ABC=×5×8×sinA=10，得sinA=.因为A为锐角，所以A=60°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=25+64-2×5×8×=49.所以BC=7.答案：712332122.因为cosB=，所以sinB=.sinA=sin(π-B-C)==sincosB-cossinB由正弦定理得，得AB=所以S△ABC=·BC·AB·sinB=×2×答案：35453sin(B)4232472.252510BCABsinAsinC10.712121048.757873434【延伸探究】1.(改变问法)若典例2的条件不变，求△ABC的外接圆的面积是多少？【解析】设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可知=2R，由典例解析知AB=，C=，即=2R，解得R=△ABC的外接圆的面积为S=πR2=()2π=π.BCABsinAsinC10741072252.752750492.(变换条件)若将典例2中条件“C=，BC=2”变为“cosA=-，BC=5”，其他条件不变，试求△ABC的面积.4513【解析】由cosA=-，得sinA=由cosB=，得sinB=所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB由正弦定理得AC=所以S△ABC=·BC·AC·sinC=×5×5132121cosA.13354.512354362016().13513565656545BCsinB13512sinA313，121213168.3653【方法技巧】三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式S=absinC=bcsinA=acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.121212(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解.【补偿训练】1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为()64A.232B.31C.232D.31【解析】选B.因为B=，C=，所以A=π-B-C=π--=由正弦定理，得即，所以c=2.所以S△ABC=bcsinA=×2×2sin64647.12bcsinBsinC2csinsin64，2c1222212122731.122.已知在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则AC边上的高为__________.13【解析】设AC边上的高为h，由余弦定理知cosB=所以sinB=所以S△ABC=又S△ABC=×4×h，所以2h=，所以答案：2223(13)413132313，23913，123931333.213123333h.2332类型二与三角形中线段长度有关的计算问题【典例】1.(2015·重庆高考)在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=__________.2.(2015·安徽高考)在△ABC中，A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长.23342【解题探究】1.典例1中，求AC长度的思路是什么？提示：首先根据正弦定理可求出∠BDA的大小，从而能够结合角平分线判断出三角形为等腰三角形，再利用余弦定理可求出AC的值.2.典例2中，求AD长度的思路是什么？提示：先用余弦定理求出BC的长，再利用余弦定理求出AD的长.【解析】1.在△ABD中，由正弦定理可知即所以sin∠BDA=，即∠BDA=45°，所以∠BAD=15°，又因为AD为角A的平分线，ADAB,sin120sinBDA32sinBDA32，22所以∠BAC=30°，∠BCA=30°，即AB=BC=，在△ABC中，由余弦定理可知AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+2-2×××()=6，所以AC=.答案：22212662.在△ABC中，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=62+(3)2-2×6×3×cos=90，所以BC=3，223410在△ABD中，设∠ADB=θ，则∠ADC=180°-θ，设AD=x，则BD=x，DC=3-x，由余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosθ，即36=2x2-2x2cosθ①AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos(180°-θ)，即18=x2+(3-x)2+2x·(3-x)·cosθ②由①②解得x=，即AD=.1010101010【方法技巧】三角形中几何计算问题的解题要点及关键(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.【变式训练】如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD.(2)求BD，AC的长.317【解析】(1)在△ADC中，因为cos∠ADC=，所以sin∠ADC=，所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB174374311333.727214(2)在△ABD中，由正弦定理得BD==3，所以BC=BD+CD=5.在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.338ABsinBAD14sinADB43712类型三三角形中的综合问题【典例】1.(2015·唐山高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足则△ABC的面积为__________.A25cos,25ABAC32.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=.(1)若△ABC的面积等于，求a，b.(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面积.33【解题探究】1.典例1中，求三角形面积的关键是什么？提示：由条件，利用cosA=2cos2-1求出sinA的值.A25cos25A22.典例2中，(1)中如何求a，b的值？(2)由条件sinC+sin(B-A)=2sin2A可得出怎样的结论？提示：(1)利用余弦定理得出a2+b2-ab=4，再由△ABC的面积等于，得出ab=4，联立关于a，b的方程组，得到a，b的值.3(2)由sinC+sin(B-A)=2sin2A，结合两角和与差的正弦公式及倍角公式，可得sinBcosA=2sinAcosA.【解析】1.因为，所以cosA=则sinA=.又由=3，得bccosA=3，所以bc=5，所以S△ABC=bcsinA=2.答案：2A25cos252A32cos125，45ABAC122.由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.(1)因为△ABC的面积等于，所以absinC=，得ab=4，联立方程组解得a=2，b=2.331222abab4ab4，，(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA.当cosA=0时，当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组4323ABab.2633，，，22abab4b2a，，解得所以△ABC的面积S=absinC=2343ab.33，1223.3【方法技巧】解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解.(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解.【变式训练】a，b，c分别是锐角△ABC的内角A，B，C的对边，向量p=(2-2sinA，cosA+sinA)，q=(sinA-cosA，1+sinA)，且p∥q，已知a=，△ABC面积为，求b，c的大小.7332【解题指南】由p∥q，根据共线向量基本定理即可求得sinA=，所以A=60°，根据△ABC的面积可求得bc=6①，而由余弦定理便可得到b2+c2=13，联立①式即可求出b，c.32【解析】因为p=(2-2sinA，cosA+sinA)，q=(sinA-cosA，1+sinA)，且p∥q，所以(2-2sinA)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA)=0，即4sin2A-3=0，又A为锐角，则sinA=，所以A=60°，因为△ABC面积为，所以bcsinA=，33233233212即bc=6①，又a=，所以7=b2+c2-2bccosA，b2+c2=13②，①②联立，解得或7b3c2，b2c3.