人教版高中数学必修五同课异构课件22等差数列222探究导学课型

第2课时等差数列的性质1.掌握等差数列的性质，能用性质解决一些实际问题.2.能用等差数列的知识解决一些应用问题.等差数列的性质{an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m+n=p+q，则：am+an=_____.ap+aq1.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a8等于()A.8B.16C.24D.32【解析】选A.因为a7+a9=2a8=16，故a8=8.2.数列{an}是等差数列，公差为d，则数列{2an}的公差是.【解析】数列{2an}的公差是2d.答案：2d3.数列{an}是等差数列，a3+a5=a2+=2.【解析】利用等差数列的性质，因为3+5=2+6=2×4，所以a3+a5=a2+a6=2a4.答案：a6a4一、等差数列的性质结合等差数列的性质：m+n=p+q⇒am+an=ap+aq，探究下列问题：探究1：该性质反过来是否成立？提示：不一定，当数列是常数列时，结论不成立；当数列是非常数列的等差数列时，结论成立.探究2：特别地，若m+n=2p(m，n，p∈N*)，那么am+an=2ap是否成立？若m+n+p=q+r+s(m，n，p，q，r，s∈N*)，是否有am+an+ap=aq+ar+as成立？提示：成立.因为当m+n=2p时，am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d=2a1+2(p-1)d=2ap，同理可以证明若m+n+p=q+r+s(m，n，p，q，r，s∈N*)，有am+an+ap=aq+ar+as成立.【探究总结】等差数列的常用性质(1)在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1.(2)在等差数列{an}中，公差d对任意的m，n∈N*且m≠n，都有d=(3){an}，{bn}均为等差数列，则{an±bn}也为等差数列.(4)若{kn}为等差数列，kn∈N*，{an}为等差数列，则也为等差数列.mnaa.mnnka二、等差数列与一次函数根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，思考下面问题：探究1：能否把等差数列的通项公式化为一次函数？提示：能.an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，令d=a(a为常数)，a1-d=b(b为常数)，则等差数列的通项公式化为一次函数an=an+b(n∈N*).探究2：若数列的通项公式an是n的一次函数，那么数列{an}是等差数列吗？提示：是.设an=an+b(a，b为常数)，则an+1=a(n+1)+b，则an+1-an=a(n+1)+b-an-b=a(常数)，故数列{an}是等差数列.【探究总结】等差数列的函数性质(1)当公差d≠0时，等差数列{an}的通项公式：an=a1+(n-1)d=pn+q(其中p=d)是关于n的一次函数，表示数列的各点(n，an)在一次函数y=px+q的图象上，且该直线的斜率为公差d.(2)从图象的角度看，等差数列的图象是一条直线上孤立的点，且斜率(3)等差数列的单调性取决于公差d的符号.n1nmaaaakd(n1mn).n1nm，【拓展延伸】等差数列与一次函数y=kx+b(k≠0)的区别与联系等差数列一次函数解析式an=an+b(n∈N*)y=kx+b不同点定义域为N*，图象是直线上一系列孤立的点定义域为R，图象是一条直线相同点等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次函数，都是最简单的也是最基本的数列和函数类型一等差数列性质的应用1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()A.a1+a1010B.a2+a1010C.a3+a99=0D.a51=512.(2014·新乡高二检测)在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=.【解题指南】1.利用a1+a101=a2+a100=…=2a51.2.根据等差数列的性质可知a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，进而可求出结果.【自主解答】1.选C.根据性质得：a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51，由于a1+a2+a3+…+a101=0，所以a51=0，又因为a3+a99=2a51=0，故正确答案为C.2.由等差数列的性质可知a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，所以a2+a4+a6+a8=37×2=74.答案：74【规律总结】等差数列求值的两个重要性质等差数列中，(1)若m，n，p，q∈N*且m+n=p+q，则am+an=ap+aq；(2)若m+n=2k，m，n，k∈N*，则am+an=2ak是最常用的两条性质，用它们解决等差数列的有关问题，有时会比较简便.【变式训练】已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是()A.15B.30C.31D.64【解析】选A.由a7+a9=a4+a12，得a12+1=16.故a12=15.类型二等差数列的函数性质的应用1.若数列{an}为等差数列，ap=q，aq=p(p≠q)，则ap+q为()A.p+qB.0C.-(p+q)D.pq22.(2013·辽宁高考改编)下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个说法：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列，其中正确的为()A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，p4na{}n【解题指南】1.本题可用通项公式求解或者利用一次函数图象求解.2.借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列.【自主解答】1.选B.不妨设pq，由于等差数列中，an关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p，ap)，(q，aq)，(p+q，ap+q)共线.设ap+q=m，由已知，得三点(p，q)，(q，p)，(p+q，m)共线，如图：由△ABE∽△BCF，得所以所以得m=0，即ap+q=0.AEBFBEFC，qppmqppqq－－，－－pm1.p－2.选D.p1：数列{an}是递增数列，由an+1-an=d0，知数列{an}是递增数列，正确.p2：数列{nan}是递增数列，由(n+1)an+1-nan=(n+1)(a1+nd)-n[a1+(n-1)d]=a1+2nd，仅有d0是无法判断a1+2nd的正负的，因而不能判定(n+1)an+1，nan的大小，错误.p3：数列是递增数列，显然，当an=n时，=1，数列是常数列，不是递增数列，错误.p4：数列{an+3nd}是递增数列，数列的第n+1项减去数列的第n项[an+1+3(n+1)d]-(an+3nd)=(an+1-an)+[3(n+1)d-3nd]=d+3d=4d0.所以an+1+3(n+1)dan+3nd，即数列{an+3nd}是递增数列，正确.na{}nnanna{}n【规律总结】等差数列函数特性应用的关注点(1)把等差数列的通项公式看成一个特殊的一次函数，已知部分元素可求其他元素.(2)利用研究函数的方法研究数列的单调性、最值等性质.【变式训练】已知：等差数列{an}满足an+2an+1+an+2=4，则该数列为()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定【解析】选C.由n+n+2=2(n+1)，得an+an+2=2an+1，即an+1=1，所以等差数列{an}为常数列.类型三等差数列的实际应用1.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为升.2.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供的两个不同的信息表如图所示：甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息：(1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.【解题指南】1.设出自上而下各节的容积构成的等差数列，则该数列的前4项和为3，后3项和为4，而所求结果为第5项.2.由图象可知养鸡数和养鸡场数目皆构成等差数列，所给的即数列的两项，可求数列的通项公式，根据通项公式来解题.【自主解答】1.设自上而下各节的容积构成的等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9.则解得故a5=a1+4d=.答案：123417891aaaa4a6d3aaa3a21d4.，113a227d66，，676667662.(1)设第n年每个养鸡场饲养鸡an万只，养鸡场为bn个，由图知{an}，{bn}均为等差数列且1≤n≤6，a1=1，a6=2，所以an=0.2n+0.8，b1=30，b6=10，所以bn=-4n+34，所以a2=0.2×2+0.8=1.2，b2=-4×2+34=26，a2b2=1.2×26=31.2(万只).所以第2年有养鸡场26个，全县出产鸡31.2万只.(2)a1b1=1×30=30(万只)，a6b6=2×10=20(万只).因为a6b6a1b1，所以第6年养鸡业规模比第1年缩小了.【延伸探究】其他条件不变，求“哪一年的规模最大？并说明理由.”【解析】由题2解析知每年出产鸡的只数为y=an·bn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=(-2n2+9n+68)=所以当n=2时，y有最大值.即第2年规模最大，共生产鸡31.2万只.25249125(n)(1n6)544－－＋，【规律总结】利用等差数列解决实际问题的注意点(1)实际应用的关键是从实际问题中抽象出等差数列模型.(2)公差不为0的等差数列的图象是一条直线上的均匀排列的孤立的点，反之给出这样的图象，那么它们之间构成等差数列，利用等差数列的性质解题.【变式训练】在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是-17.5℃，求2km，4km，8km高度的气温.【解析】用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1=8.5，a5=-17.5，由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5，解得d=-6.5，所以an=15-6.5n.所以a2=2℃，a4=-11℃，a8=-37℃.