人教版高中数学必修五同课异构课件23等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和情境互动

2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和高斯(1777—1855）德国著名数学家1+2+3+…+98+99+100=？高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？我们先看下面的问题.怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢？一二4+10=14三5+9=146+8=14四7+7=14五8+6=14六9+5=14七10+4=14(1)先算出各层的根数，每层都是14根；(2)再算出钢管的层数，共7层.所以钢管总根数是：根1(410)749()21+2+3+···+100=?带着这个问题，我们进入本节课的学习！1.通过教学使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.(重点）2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想．（难点）下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.设S100=1+2+3+…+98+99+100反序S100=100+99+98+…+3+2+1+++++++作加法+++++++作加法多少个101?100个1012S100=101+101+101+…+101+101+101//////////\\\\+++++++作加法探究点1：等差数列的前n项和公式所以S100=(1+100)×100？？首项尾项？总和？项数这就是等差数列前n项和的公式！=5050121()2nnnaaS1(2　　　＋　　）+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则证：Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,即Sn=a1,an+a2++an-1+a3an-2+…+.1()2nnnaaS2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)多少个(a1+an)?共有n个(a1+an)由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq知：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：=n(a1+an).这种求和的方法叫倒序相加法！因此，.1()2nnnaaS110.5,95,10.根据下列条件，求相应的等差数列的前n项和nnaSaan1010×(5+95)S==：2解500.【即时练习】探究点2：等差数列的前n项和公式的其他形式（1)2nnnaaS1(1)naand（11)2nnnSnad1,22ddABa2nSAnBn.根据下列条件，求相应的等差数列的前n项和nnaS1100,2,50.adn5050×（50-1)S=50×100+×(-2)=2解2：550.【即时练习】例12000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入的资金，其中，1a=500,d=50. 10那么，到2010年（n=10），投入的金10×（10-1）S=10×500+×50=7250（万元）.2资总额为从该总20012010年，市在“校校通”工程中的投入是72答：50万元.本题的设计意图：培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈.n.1.求正整数数列中前个数的和nn×(1+n)n(n解：+1)S==.222.n.求正整数数列中前个偶数的和nn×(2+2n)S==n(n解：+1).2【变式练习】例2已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？na分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与d的二元一次方程，由此可以求得与d，从而得到所求前n项和的公式.1a1a  1020n111由意知S=310，S=1220,n（n-1）它代入公式S=na+d，210a+4解：5d=310，得到20a+190d=1220.题将们      112n解于a与d的方程，得到a=4，d=6,n（n-1）所以S=4n+×6=3n+n.2这个关组【技巧方法】此例题的目的是建立等差数列前n项和与方程组之间的联系.已知几个量，通过解方程组，得出其余的未知量.让我们归纳一下！（2014·福建高考）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14【解析】选C.由已知条件得，a1=2,3a1+3d=12，解得a1=2,d=2，所以a6=a1+5d=12．【变式练习】例　已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？2132.nnanSnn……n12n-1nn-112n-1根据S=a+a++a+a与　　解S=a+a++a（：n1），nnn-122可知，n1，a=S-S111=n+n-[（n-1）+（n-1）]=2n-.222当时  211nnnn=1，13a=S=1+×1=，也足上式.221所以列a的通公式a=2n-.23由此可知，列a是一首，公差2的等差列.2当时满数项为数个项为为数11111..  .这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法（n=1）,已知前项和，可求出通项（n2）这种用数列的公式来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通【技巧方法】项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的nnnnnnnnnnSnSaSSSaaSSaaa（2015·新课标高考）设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．【变式练习】【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以-1为首项，-1为公差的等差数列，则11(1)nnnS，所以1nSn．答案：1n1.（2015·新课标1高考）已知{}na是公差为1的等差数列，nS为{}na的前n项和，若844SS，则10a（）A.172B.192C.10D.12【解析】选B.∵公差1d，844SS，∴11118874(443)22aa，解得112a，∴1011199922aad.2.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3⇒a3=1,S5==5a3=5.155(aa)23..根据下列条件，求相应的等差数列的前n项和nnaS114.5,0.7,32.nada32-14.5n=+1=26,0.7解：2626×(14.5+32)S==604.5.24.5,4,3,2,等差数列前多少项和是-30？1nna=5,d=-1,S=-30.n(n-1)所以S=5n+×(-1)=-30，2n=15或n=-4解：(舍去)..1等差数列前项和公式的推导；nnS,.11()(1)22nnnnaannSSnad说明：两个求和公式的使用——知三求一..2等差数列前项和公式的记忆与应用.nnS青年之文明，奋斗之文明也，与境遇奋斗，与时代奋斗，与经验奋斗。故青年者，人生之王，人生之春，人生之华也。——李大钊