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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 人教版高中数学必修五同课异构课件241等比数列探究导学课型
2.4等比数列第1课时等比数列1.掌握等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式,并会应用.3.能够应用等比数列的概念判断一个数列为等比数列.1.等比数列的概念(1)定义:一个数列从______起,每一项与它的前一项的比等于_________.(2)公比:这个常数叫做等比数列的公比.(3)公比的表示:________.第2项同一常数q(q≠0)2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成_________,那么G叫做a与b的等比中项,其满足的关系式为_____.3.等比数列的通项公式首项是a1,公比是q(q≠0)的通项公式为an=_____(a1≠0,q≠0).等比数列ab=G2a1qn-11.已知{an}是等比数列,a1=1,a4=2,则a3=()A.±2B.2C.-2D.4【解析】选B.因为a4=a1·q3,所以q3=所以q=,所以a3=a1q2=2.2241a22a,2.已知数列{an}为等比数列,且a1=2,q=3,则an=.【解析】由a1=2,q=3,所以an=2×3n-1.答案:2×3n-13.若等比数列{an}的通项为an=×5n,则a1=.【解析】由通项an=×5n,令n=1,得a1=答案:12125.2524.已知数列{an}为等比数列,若a2=2,a5=则q=.【解析】由得解得q=答案:14,25a21a4,,141aq21aq4,,1.212一、等比数列的通项探究1:观察等比数列的通项公式an=a1qn-1,思考下面的问题:(1)公式中的q能否为零?请说明理由.提示:不能,根据等比数列的定义,公比为每一项与前一项的比即:=q,若q=0,则an=0,所以数列中每一项都为零,所以an-1=0,这样比值无意义,所以q≠0.nn1aann1aa(2)要想确定等比数列的通项公式,需要具备哪几个条件?提示:由等比数列的通项公式an=a1qn-1,要确定其通项公式,必须知道a1,q两个条件.探究2:根据等比数列的定义,如何推导出等比数列的通项公式?提示:由等比数列的定义,以上各式相乘可得an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).324n123n1aaaaqqqqaaaa,,,,,,【拓展延伸】等比数列通项公式的两种证法(1)归纳法:a1=a1,a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…,an=an-1q=a1qn-1.(2)迭代法:an=an-1q=an-2q2=…=a2qn-2=a1qn-1.【探究总结】对等比数列通项公式的两点说明(1)在等比数列的通项公式中含有4个基本量,只要知其中任意3个,可求第四个基本量.(2)通项公式的推导方法采用的是累乘法,该方法是求数列通项公式常用的方法.二、等比数列的判定探究1:根据等比数列的定义,判断下面的数列是否为等比数列?(1)1,3,32,33,…,3n-1,…提示:记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…,由于=3(n≥2,n∈N*),所以该数列为等比数列,公比为3.n1nn2n1a3a3(2)-1,1,2,4,8,…提示:记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…由于所以此数列不是等比数列.3212aa12aa,(3)a,a2,a3,…,an,…提示:当a=0时,数列为0,0,0,…,是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a,a2,a3,…,an,…,显然此数列为等比数列且公比为a.探究2:在利用等比数列的定义判定一个数列为等比数列时应注意什么?提示:根据等比数列的定义,要判断一个数列为等比数列需要注意:(1)=q(n∈N*)为常数.(2)比值为同一个常数.(3)数列中的每一项都不能为0.n1naan1naa探究3:由等比数列的定义,要判断一个数列是否为等比数列,只需判断什么?提示:只需判断是否为同一个常数.n1naa【探究总结】等比数列判定的三点说明(1)利用定义判定应注意公比为每一项与前一项的比.(2)必须说明是从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数.(3)若公比为1,则该数列为常数列,也为等比数列.类型一等比数列中基本量的求解1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于()A.64B.81C.128D.2432.(2014·天津高考)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.2B.-2C.D.-3.(2014·济宁高二检测)已知数列{an}为递增的等比数列,其中a2=9,a1+a3=30.求数列{an}的通项公式.1212【解题指南】1.根据条件a1+a2=3,a2+a3=6求出公比和首项,再根据等比数列的通项公式求出a7.2.根据S1,S2,S4成等比数列建立关于a1的方程求解.3.先根据a2=9,a1+a3=30,求出q,再代入等比数列的通项公式求得.【自主解答】1.选A.因为{an}为等比数列,所以=q=2.又a1+a2=3,所以a1=1.故a7=1×26=64.2.选D.因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1·S4,即(a1+a1-1)2=a1(4a1-×4×3),解得a1=-.3.设等比数列的公比为q,又由已知a2=9,a1+a3=30,可得+9q=30,解得q=3或q=由已知,数列为递增数列,所以q=3,即an=a2qn-2=9×3n-2=3n.2312aaaa9q13,1212【规律总结】等比数列中任意项求解的两种方法(1)若已知a1和q,利用通项公式an=a1qn-1可求等比数列中的任意一项.(2)若已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.【变式训练】在等比数列{an}中,已知a1=an=q=则n为()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.等比数列{an}中,a1=an=q=所以an=a1qn-1=所以即n-1=3,n=4.98,13,23,98,13,23,n1921()833,n1322()()33,【加固训练】在等比数列{an}中,若2a4=a6-a5,则公比q是.【解析】由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,即2=q2-q,所以q=-1或q=2.答案:-1或2类型二等比中项及应用1.(2014·济宁高二检测)已知等比数列{an}中,a1=2,a5=18,则a2a3a4等于()A.36B.216C.±36D.±2162.(2015·兰州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4223.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=.【解题指南】1.由a1,a3,a5成等比数列,求出a3,再由a2,a3,a4成等比数列,求出a2·a4.2.根据等比中项得a2,a8,从而得q,进而求出a5,得a4a5a6.3.由a-1,a+1,a+4成等比数列,根据等比中项的概念求出a的值,从而得出通项.【自主解答】1.选B.由a1,a3,a5成等比数列,故a32=a1·a5=36,所以a3=6或a3=-6(舍),又a2,a3,a4成等比数列,所以a2·a4=a32,故a2·a3·a4=a33=63=216.2.选A.由a1a2a3=5,所以a2=又a7a8a9=a83=10,故a8=所以=q6=,所以q=所以a4a5a6=a53=(a2·q3)3=a23·q9=()3·()9=35,310,82aa321182,35118252.3.由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以a1=4,a2=6,所以q=所以an=答案:21a63a42,n134().2n134()2【规律总结】等比中项应用的三点注意(1)由等比中项的定义可知⇒G2=ab⇒G=±,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab0).GbaGab【变式训练】1.在等比数列{an}中,a1=-16,a4=8,则a7=()A.-4B.±4C.-2D.±2【解析】选A.因为数列{an}为等比数列,所以a42=a1·a7,所以a7==-4.2241a8a162.若a=45,b=80,则a,b的等比中项为.【解析】设a,b的等比中项为G,则G2=ab=45×80=3600,所以G=±60.答案:±60【加固训练】如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9【解析】选B.因为b2=(-1)×(-9)=9,且b与首项-1同号,所以b=-3,且a,c必同号.所以ac=b2=9.类型三等比数列的证明1.已知{an},{bn}都是等比数列,那么()A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列B.{an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列C.{an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列2.在数列{an}中,若an+1=2an+3(n≥1,n∈N*),证明:数列{an+3}是等比数列.【解题指南】1.对于能构成等比数列的利用等比数列的定义判定,而构不成等比数列的可通过特例说明.2.根据等比数列的定义,只需证明等于常数即可.n1na3a3【自主解答】1.选C.{an+bn}不一定是等比数列,如an=1,bn=-1,因为an+bn=0,所以{an+bn}不是等比数列.设{an},{bn}的公比分别为p,q,因为=pq≠0,所以{an·bn}一定是等比数列.2.令an+1+λ=2(an+λ),与已知an+1=2an+3比较知λ=3,所以an+1+3=2(an+3),即=2,所以数列{an+3}是首项为a1+3,公比为q=2的等比数列.n1n1n1n1nnnnababababn1na3a3【延伸探究】题2条件不变,若a1=2,求数列{an}的通项公式.【解析】由数列{an+3}是等比数列,当a1=2时,a1+3=5,所以数列{an+3}是首项为5,公比q=2的等比数列,所以an+3=5×2n-1,即an=5×2n-1-3.【规律总结】证明一个数列为等比数列的三种方法(1)定义法:验证=q(常数)是否成立.(2)等比中项法:证明an+12=anan+2,注意an≠0.(3)通项公式法:证明an=a1qn-1,这里a1≠0且q≠0.提醒:利用等比数列的定义证明数列为等比数列时必须说明为同一常数.n1naan1naa类型四等比数列中常见项的设法1.(2014·绍兴高一检测)在3和9之间插入两个正数,使前3个数成等比数列,后3个数成等差数列,则这两个正数之和为()27452547A.B.C.D.24242.一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列;如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.【解题指南】1.根据前3个数成等比数列,设出这两个数,再由后三个数成等差数列列方程求解.2.根据三个数成等比数列,设出这三个数,再根据条件建立方程组求解.【自主解答】1.选B.设这两个正数为3q,3q2,则3q,3q2,9成等差数列,所以6q2=3q+9,即2q2-q-3=0,解得q=,q=-1(舍),所以这两个数为,其和为3292724,45.42.设所求的等比数列为,a,aq.由已知条件,得化简,得解得或由q=3,a=6得所求数列为2,6,18.由q=-5,a=得所求数列为经检验,均符合题意,故所求的等比数列为2,6,18或2a2a4aqqa32aqa4q,,2aq2aqa8q04aaq2q0
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