人教版高中数学必修五同课异构课件242等比数列的性质精讲优练课型

第2课时等比数列的性质【知识提炼】1.等比数列的项与序号的关系两项关系an=am·____(n，m∈N*)多项关系若{an}为等比数列，且m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则____________qn-mam·an=ap·aq2.等比数列的单调性公比q单调性首项a1q10q1q=1q0a10_____数列_____数列___数列摆动数列a10_____数列_____数列递增递减递减递增常【即时小测】1.判断(1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.()(2)若{an}为等比数列，且m+n=p(m，n，p∈N*)，则am·an=ap.()(3)若等比数列{an}的公比q1，则数列{an}是递增数列.()【解析】(1)正确.根据等比数列中任意两项关系，即an=am·qn-m(n，m∈N*)可知该说法正确.(2)错误.例如等比数列1，2，4，8，…中，a1·a2≠a3.(3)错误.在等比数列{an}中，若q1，数列{an}并不一定是递增数列，如等比数列-1，-2，-4，…，公比q=21，但此数列是递减数列.答案：(1)√(2)×(3)×2.等比数列{an}中，a5=3，q=，则a3=()【解析】选D.因为数列{an}是等比数列，所以a5=a3q2，所以3=a3×，所以a3=12.1233A.B.C.6D.124221()23.若数列{an}为等比数列，则下列式子一定成立的是()A.a2+a5=a1+a6B.a1a9=a10C.a1a9=a3a7D.a1a2a7=a4a6【解析】选C.以等比数列{3×2n}为例进行检验，可知A，B，D均不成立.对于C，因为a1a9=a12q8，a3a7=a12q8，所以a1a9=a3a7.4.已知摆动数列{an}是等比数列，且a2=1，a4=16，则公比q为________.【解析】由题意得q2==16，所以q=±4，又因为数列{an}是摆动数列，所以q=-4.答案：-442aa5.在等比数列{an}中，a10+a11=，a11+a12=2，则公比q=________.【解析】因为a11+a12=(a10+a11)q，所以q=答案：211121011aa22.aa22【知识探究】知识点1等比数列通项公式的推广观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：等比数列通项公式的推广形式是如何得出的？问题2：等比数列通项公式的推广形式的主要作用是什么？【总结提升】1.等比数列通项公式推广形式的证明设等比数列{an}的公比为q，则an=a1qn-1，am=a1qm-1，m，n∈N*，两式相除得所以an=amqn-m.n1n1m1nmn1m1m1aaqqqaaq，2.等比数列通项公式的推广形式的作用(1)求等比数列的公比.(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m，可求出等比数列的任何一项.知识点2等比数列的性质观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：等比数列{an}中，若m+n=s+t，则aman=asat，该结论是如何证明的？问题2：已知数列{an}是等比数列，还有哪些与该数列有关的等比数列呢？【总结提升】1.等比数列中四项关系的性质及证明若等比数列{an}中，m，n，s，t∈N*且m+n=s+t，则aman=asat.证明：设等比数列{an}的公比为q，aman=a1qm-1·a1qn-1=a12qm+n-2，asat=a1qs-1·a1qt-1=a12qs+t-2，因为m+n=s+t，所以aman=asat.2.等比数列的“子数列”的性质数列{an}是公比为q的无穷等比数列.(1)去掉数列{an}的前m项后余下的项仍组成公比为q的等比数列.(2)奇数项数列{a2n-1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列.(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk+1.【题型探究】类型一等比数列通项公式的推广和应用【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.842.已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10，2(an+an+2)=5an+1，则数列的通项公式an=________.【解题探究】1.典例1中，解题的基本思路是什么？提示：利用条件a1=3，a1+a3+a5=21求出公比，再利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2求值.2.典例2中，an+2，an+1与an有什么关系？提示：an+2=anq2，an+1=anq.【解析】1.选B.设等比数列的公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.2.设等比数列的公比为q.因为a52=a10，所以(a1q4)2=a1q9，所以a1=q，所以an=qn.因为2(an+an+2)=5an+1，所以2an(1+q2)=5anq，所以2(1+q2)=5q，解得q=2或q=(舍去)，所以an=2n.答案：2n12【方法技巧】等比数列推广的通项公式的应用技巧(1)由等比数列的任意两项可求出数列的公比，即由an=amqn-m可得qn-m=，进一步计算公比.(2)由等比数列的任意一项和公比可以求出该等比数列的通项公式.(3)等比数列推广的通项公式可揭示等比数列中两个相同项数的和之间的关系，如a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3.nmaa【变式训练】已知数列{an}为等比数列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11.【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a1·a9=a3·a7=64，又因为a3+a7=20，所以a3，a7是方程t2-20t+64=0的两个根.所以a3=4，a7=16或a3=16，a7=4.当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20，所以1+q4=5，所以q4=4.当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20，所以1+q4=，所以q4=.所以a11=a1q10=a3q8=64或1.5414【补偿训练】1.在等比数列{an}中，a2012=8a2009，则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8【解析】选A.因为=q3=8，所以q=2.20122009aa2.在等比数列{an}中，存在正整数m，有am=3，am+5=24，则am+15=________.【解析】因为=q5=8，又因为=q10=(q5)2=82.所以am+15=am·q10=24×82=1536.答案：1536m5maam15m5aa类型二等比数列性质的应用【典例】在等比数列{an}中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数，求数列{an}的通项公式.【解题探究】本例中，哪个条件可以用等比数列的性质进行转化？如何转化？提示：条件a4a7=-512可利用“若m+n=k+l，则aman=akal”转化为a3a8=-512.【解析】由a4a7=-512，知a3a8=-512.解方程组得因为q为整数，所以q==-2，所以an=a3qn-3=-4×(-2)n-3=(-1)n-2×2n-1.3838aa512aa124.，3388a4a128a128.a4.，，或853aa【延伸探究】1.(变换条件)若将典例中条件“a4a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数”改为“a7·a11=6，a4+a14=5”，则结果又如何？【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a4·a14=a7·a11=6.解方程组得所以所以an=a4qn-4=2×414414aa6aa5.，441414a2a3a3.a2.，，或141010104a32q.a23或n4n4101032()3().23或2.(变换条件、改变问法)典例中等比数列满足的条件改为a4+a7=2，a5·a6=-8，求a1+a10.【解析】因为数列{an}为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8.联立可解得当时，q3=-，故a1+a10=+a7q3=-7；当时，q3=-2，同理，有a1+a10=-7.4747aa2aa8.，4477a4a2a2.a4.，，或47a4a2，1243aq47a2a4，【方法技巧】巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.(2)利用等比数列的性质解题①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.【补偿训练】若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，求lna1+lna2+…+lna20.【解析】方法一：各项均为正数的等比数列{an}中，a10a11=a9a12=…=a1a20，则a1a20=e5，lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.方法二：各项均为正数的等比数列{an}中，a10a11=a9a12=…=a1a20，则a1a20=e5，设lna1+lna2+…+lna20=S，则lna20+lna19+…+lna1=S，2S=20ln(a1a20)=100，S=50.【延伸探究】1.(变换条件)若将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为“a3·a9=2a52，a2=2”，其他条件不变，结果又如何？【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a3a9=a62，又因为a3a9=2a52，所以2a52=a62，又因为an0，所以a5=a6，所以公比q=又因为a2=2，所以an=所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1·a2·…·a20)=265a2a，nn222(2)2.1(1220)2ln2201201ln2105ln2.222.(变换条件、改变问法)将本题条件“a10a11+a9a12=2e5”改为“a3a8=9”，其他条件不变，求log3a1+log3a10的值.【解析】log3a1+log3a10=log3(a1·a10)=log3(a3·a8)=log39=2.类型三等差、等比数列的综合问题【典例】1.(2015·襄阳高一检测)等比数列{an}中，a1=512，公比q=-，记Tn=a1×a2×…×an，则Tn取最大值时n的值为()A.8B.9C.9或10D.11122.(2015·湖州高一检测)已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2-kan+k(k∈R)，a1，a2，a3分别是公差不为零的等差数列{bn}的前三项.(1)求k的值.(2)求证：对任意的n∈N*，bn，b2n，b4n不可能成等比数列.【解题探究】1.典例1中，Tn符号的变化规律是什么？如何将|Tn|表示为关于n的函数？提示：从第1项开始Tn的符号变化规律成正、负、负、正周期变化.利用等比数列的通项公式、指数运算的法则和等差数列求和公式，可将|Tn|表示为关于n的函数.2.典例2第(1)问中a1，a2，a3满足什么关系？如何用k表示a2，a3？第(2)问中若bn，b2n，b4n能成等比数列，则可推出什么结果？提示：第(1)问中2a2=a1+a3，根据a1=2，a2=a12-ka1+k，a3=a22-ka2+k，可用k表示a2，a3.第(2)问中若bn，b2n，b4n能成等比数列，则可推b2n2=bn·b4n.【解析】1.选B.an=a1qn-1=512×=(-1)n-1×29×21-n=(-1)n-1×210-n.所以|Tn|=|a1×a2×…×an|=29+8+…+10-n=所以当n=9或10时，|Tn