人教版高中数学必修五同课异构课件251等比数列的前n项和探究导学课型

2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和1.理解并掌握等比数列前n项和公式及推导方法.2.掌握等比数列前n项和性质，并能应用性质解决有关问题.等比数列前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项、项数与公比选用公式n_____q1S__________(q1)1nan1a1q1qn_____q1S__________(q1)1naaq1q1na1.等比数列…的前10项和等于()【解析】选C.因为数列…是首项为，公比为的等比数列，所以S10=111248，，151110231A.B.C.D.10245121024512111248，，12121011[1()]102322.11024122.等比数列…从第3项到第7项的和为.【解析】方法一：此等比数列的第3项到第7项仍然构成等比数列，新等比数列的首项为，公比为，从第3项到第7项的和为S=333248，，，3812531[1()]9382.112812方法二：由题意得，此等比数列的首项为，公比为，所以S7=，所以从第3项到第7项的和为答案：3212731[1()]38122112812733381993S().241284128931283.对于等比数列{an}，若a1=5，q=2，Sn=35，则an=.【解析】由Sn=，得an==20.答案：20n11na1qaaq1q1q1na1qS535q2一、等比数列的前n项和根据等比数列前n项和的推导过程，思考下面的问题：设等比数列{an}的前n项和为Sn=a1+a2+…+an，即Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.①用q同乘以①式的两边，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn②①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，当q≠1时，得Sn=n1a(1q).1q－－探究1：①式两边为什么要同乘以q？提示：根据等比数列的定义，①式两边同乘以q，可以使所得到的式子与①式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项，得到有限项，从而求出数列的前n项和.探究2：①式减②式的目的是什么？提示：①式减②式的目的是消去两式中若干项，从而得出有限项.探究3：在推导Sn=(q≠1)的过程中，限制了q≠1，当q=1时，Sn等于多少呢？提示：当q=1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和Sn=na1.n1a(1q)1q－－【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点(1)q≠1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法.(2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若知道其中3个可求另2个.(3)求等比数列{an}的前n项和时，要注意公比是否为1，要分情况选取合适的公式求解.【拓展延伸】等比数列的前n项和公式的其他推导方法方法一：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(等比数列定义)=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+qSn-a1qn(方程思想)，所以(1-q)Sn=a1(1-qn)，因为q≠1，所以Sn=n1a1q.1q方法二：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a2q+…+an-1q(等比数列定义)=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an)=a1+qSn-anq，所以(1-q)Sn=a1-anq，因为q≠1，所以Sn=n11na1qaaq.1q1q方法三：q=(等比数列定义)(比例的性质)，所以q(Sn-an)=Sn-a1，(1-q)Sn=a1-anq.因为q≠1，所以Sn=32n12n1aaaaaa23n12n1aaaaaan1nnSaSan11na1qaaq.1q1q二、等比数列前n项和的性质根据Sn=(q≠1)探究以下问题：nn111a(1q)aaq1q1q1q－－－－－探究1：一个数列{an}的前n项和写成Sn=Aqn+B(q≠1)，若此数列是等比数列，则A+B=0吗？反之成立吗？提示：等于.反之也成立.因为Sn=则常数项与qn的系数互为相反数，即A+B=0.反之，若A+B=0，则数列是等比数列.当n=1时，a1=S1=Aq+B=A(q-1).当n≥2时，an=Sn-Sn-1=Aqn-Aqn-1=(q-1)·Aqn-1，又因为a1=A(q-1)满足an=(q-1)Aqn-1，所以an=A(q-1)qn-1，所以{an}是等比数列.n1n11a1qaaq1q1q1q，探究2：若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk，S2k-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比为多少？提示：Sk=a1+a2+…+ak，S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=qk(a1+a2+…+ak)，S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=q2k(a1+a2+…+ak)，显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为Sk，公比为qk.【探究总结】等比数列前n项和的四条常用性质(1)数列{an}是等比数列，则Sn=Aqn-A(A≠0).(2)若等比数列{an}共有2n项，则=q.(3)如果{an}为公比为q的等比数列，对∀m，p∈N*有Sm+p=Sm+qmSp.(4)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…，成公比为qm的等比数列.SS偶奇类型一等比数列前n项和的基本计算1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an232.(2013·大纲版全国卷)已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=则{an}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)3.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，求此数列的公比q.43，19【解题指南】1.利用等比数列的前n项和公式Sn=或利用Sn=结合an求解.2.由3an+1+an=0求出数列的公比，再利用等比数列的求和公式确定数列的前10项的和.3.分情况讨论，当q≠1时，根据S3=3a3建立首项与公比的方程求解.1naaq1q－－n1a1q1q【自主解答】1.选D.方法一：因为等比数列的首项为1，公比为Sn=所以Sn=3-2an.方法二：结合Sn=观察四个选项可知选D.23，n1n21aaaq321q13－－，－－nnn1n1n21()222333()32()a()233313－－－－－，，－2.选C.因为3an+1+an=0，则又a2=所以a1=4，所以数列{an}是首项为a1=4，公比q=的等比数列.故S10=3.当q=1时，S3=3a3，符合题意；当q≠1时，由S3=3a3，得=3a1q2，因为a1≠0，所以1-q3=3q2(1-q)，所以(q-1)2(2q+1)=0，所以q=综上，q=1或q=n1na1a3，43，131010141()3313.11331a(1q)1q－－1.2－1.2－【延伸探究】题3中，若S3=2S2，则公比q等于多少.【解析】由题意知q≠1，a1≠0，由S3=2S2得，所以q3-2q2+1=0，即(q-1)(q2-q-1)=0，解得q=3211a(1q)a(1q)21q1q－－，－－15.2【规律总结】等比数列前n项和运算的注意事项(1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)对于等比数列有关基本量的计算，列方程组求解是常用方法，通常用约分或相除的方法进行消元.(3)在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个基本量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常常利用列方程组的方法来解决.类型二等比数列前n项和性质的简单应用1.(2014·石家庄高二检测)已知等比数列的前4项的和为1，且公比q=2，则数列的前8项的和等于()A.17B.16C.15D.142.(2015·重庆高二检测)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6=1，S12=3，则S18=.3.一个项数为偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.【解题指南】1.根据S4与S8-S4的关系求出S8-S4，再求S8.2.根据性质Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比数列求解.3.可设出数列的奇数项之和和偶数项之和，根据所有项之和等于偶数项之和的4倍，找出奇数项之和与偶数项之和的关系，进而求出公比，再求出首项，即可得出通项.【自主解答】1.选A.因为a5+a6+a7+a8=q4S4=24=16，所以S8=16+1=17.2.根据Sn为等比数列{an}的前n项和，有(S12-S6)2=S6(S18-S12)，将S6=1，S12=3代入，计算得S18=7.答案：73.设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇+S偶=4S偶，即S奇=3S偶.因为数列{an}的项数为偶数，所以有q=又因为a1·a1q·a1q2=64，所以a13·q3=64，即a1=12，故所求通项公式为an=S1.S3偶奇n1112().3－【规律总结】等比数列前n项和性质应用的关注点(1)在解决等比数列前n项和问题时，若条件含有奇数项和与偶数项和的时候，如果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解.(2)当已知条件含有片段和时，要考虑性质Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比数列.【拓展延伸】等比数列各项乘积的性质在等比数列{an}中，公比为q，Tn为其前n项的积，则Tn，，成等比数列：因为Tn=a1·a2·…·an，T2n=a1·a2·…·an·an+1·…·a2n=(a1·a2·…·an)·(a1qn·…·anqn)=(a1·a2·…·an)2qn2=Tn2qn2，2nnTT3n2nTTT3n=a1·a2·…·a2n·a2n+1·…·a3n=Tn2qn2(a1q2n·…·anq2n)=Tn2qn2(a1·…·an)q2n2=Tn3q3n2.又所以Tn，，成等比数列，且公比为qn2.22n2n3n2nnnn2nTTTqTqTT，，2nnTT3n2nTT【变式训练】各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n=.【解析】设S2n=x，S4n=y，则2，x-2，14-x，y-14成等比数列，所以所以或(舍去)，所以S4n=30.答案：3022(x2)2(14x)(14x)x2y14，，x6y30x4y40【加固训练】若等比数列{an}的公比为，且a1+a3+…+a99=60，则{an}的前100项和为.【解析】令X=a1+a3+…+a99=60，Y=a2+a4+…+a100，则S100=X+Y，由等比数列前n项和性质知：=q=，所以Y=20，即：S100=X+Y=80.答案：801313YX类型三数列在生活中的应用1.(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于.2.(2014·包头高二检测)从盛满aL(a1)纯酒精的容器里倒出1L，然后灌满水，现倒出1L混合液后又用水灌满，如此继续下去，问第n次操作后溶液中酒精的质量分数是多少？若a=2时，至少应倒几次后才能使酒精的质量分数低于10%？【解题指南】1.转化为等比数列前n项和的问题.2.分别求出操作1次，2次，3次后溶液的质量分数，从而得出操作n+1次与第n次的关系，进而求解.【