人教版高中数学必修五同课异构课件34基本不等式第1课时基本不等式情境互动课型

3.4基本不等式：第1课时基本不等式2abab国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举行，它的会标是什么？第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景.(重点）2.基本不等式的简单应用.1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？BACDEFGH探究点1探究基本不等式BACDEFGH则正方形ABCD的面积是________，这4个直角三角形的面积之和是_________，设AE=a,BE=b,a2+b22ab222.abab即S4S正方形ABCD直角三角形，a22abb提示:222.2abab成立吗？当且仅当a=b时，等号成立，222abab即成立.提示:222,abab一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.3.你能给出它的证明吗？为证22222因a+b-2ab=(a-b)0,所以a+b明：2ab.【提升总结】(0,0).2abababa0,b0,如果a特别地，我们用b,ab,.2abab,分别代替可得4.你能用不等式的性质直接推导吗？通常我们把上式写作2abab证明：要证只要证.ab①要证①，只要证0ab②要证②，只要证2()0③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.2abab2ab基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；（2）当且仅当a=b时取等号.(0,0).2ababab【提升总结】DABCE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=＿＿,半径为＿＿.ab2ab2ACDDCB,CDACCB,CDab.∽因为所以即CD小于或等于圆的半径..2abab用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦.可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2abab基本不等式(0,0)2ababab1122判断下列推理是否正确：1.若，则由得aRaaaa(1)101(1)222.若，则由得xxxxx×√0a√1的最小值是2aa1(1)2的最大值是xx和定积最大【即时练习】例已知a0,b0,a+b=1,求证：11(1)(1)9.ab分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母，直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现“1”的代换？探究点2利用基本不等式证明简单的不等式,从证由a+b=12ab11得ab,而4.4ab11111a+b1(1+)(1+)=1+++=1++ababababab2=1+：ab明9.当且仅当时取等号.12ab设,ab均为正数，证明不等式：ab211ab.证明：因,ab均为正数，由基本不等式，可知1112abab,也即abba112，当且仅当ab时，等号成立．【变式练习】由公式可以引申出的常用结论：22xyabxyx,yRab(a0,b0)22和ba12ababba22abab，同号；，异号；222222abab3ab(a0b0)1122ababab(ab()a0b0)22＞，＞或＞，＞．【提升总结】,018,(2).若且abab440sin2sin4sinsin1.判断下列推理是否正确：(1).若，则由xxxxx×√4sin4.sin得，最小值是xx的最大值是81ab2218()()8122则由得abab和定积最大等号取不到2．如果0ab1，P＝log12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是()A．PQMB．QPMC．QMPD．MQPB【解析】因为P＝log12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)＝log12ab，M＝12log12(a＋b)＝log12a＋b，所以只需比较a＋b2，ab，a＋b的大小．显然a＋b2ab，又因为a＋b2a＋b，(由a＋ba＋b24也就是a＋b41可得)，所以a＋ba＋b2ab.而y＝log12x为减函数，故QPM.3.若a＞b＞0,则下列不等式中总成立的是()2ababA.abab2ab2abB.ab2abab2abC.ab2ab2ababD.abab2＜＜＞＞＜＜C4.（2015·陕西高考）设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1[()()]2rfafb，则下列关系式中正确的是（）A．qrpB．qrpC．prqD．prqC【解析】()lnpfabab，()ln22ababqf，11[()()]lnln22rfafbabab，函数()lnfxx在0,上单调递增，因为2abab，所以()()2abffab，所以qp=r，故选C．证明：因为a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，所以2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，所以2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)．所以a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．5.求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式基本不等式22ab2ab(a,bR)“a=b”时取“=”abab(a0,b0)2＞＞“a=b”时取“=”2.均值不等式链设a，b均为正数，则2221122abababab（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当ab时等号成立.在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。——郁达夫