微分论文

吉首大学本科毕业论文设计1浅谈微分中值定理中值点的确定及渐进性吴伟(吉首大学数学与统计学院，湖南吉首，416000)摘要：本文主要讨论了微分中值定理中值点能被确定的几种函数类型，并通过拉格朗日中值定理、泰勒定理、LHospital法则，得到了初等函数的关于中值点的一些具体性质。另外本文还讨论了一些复合函数及其他函数类型的微分中值定理中值点确定及渐进性。关键词：微分中值定理中值点；泰勒定理；拉格朗日中值定理；LHospital法则；渐进性DiscussionOnDifferentialMeanValueTheoremValuePointandProgressiveWuWei(CollegeofMathematicsandStatistics,JishouUniversity,JishouHunan416000）)Abstract：ThispapermainlydiscussesTheTheoryOfDifferentialMeanValueTheoremvaluepointcanbedefinedinseveralfunctiontypes,andthroughtheLagrange’smeantheory,Taylor’sTheory,LHospitalprinciple,gettingtheelementaryfunctiononsomespecificpropertyofmeanvaluepoint.Wealsodiscussessomecompositefunctionandotherfuctiontypesofdifferentialmeanvaluepointtheoremandprogressive.Keywords：Differentialmeanvaluetheorem；Taylor’sTheory；Lagrange’smeantheory；LHospitalprinciple；Progressive吉首大学本科毕业论文设计2一、引言：微分中值定理是数学分析最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上的整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。微分中值定理作为微分学的基本定理，在研究函数的性质方面起着重要的作用，参考文献[1]，微分中值定理只肯定了中值点的存在性，而中值点的位置没有已有的定理给以解决，但它亦越来越被重视并被研究。本文总结了已有的一些结论，探讨了微分中值定理中值点的确定几种函数类型，并结合实例讨论了初等函数的关于中值点的确定问题，并在一些问题中进行了推广。另外本文还讨论了一些复合函数以及其他类型函数的微分中值定理中值点的确定及渐进性。二、预备定理：1、泰勒定理[1]：若函数f在[,]ab上存在直至n阶的连续导函数，在(,)ab内存在1n阶导函数，则对任意给定的x,0[,]xab,至少存在一点(,)ab，使得12100000000()()()()()()()()...()()2!!(1)!nnnnfxfxffxfxfxxxxxxxxxnn2、拉格朗日中值定理[1]：若函数f满足以下条件：()if在闭区间[,]ab上连续；()iif在开区间(,)ab内可导，则在(,)ab内至少存在一点，使得()()()()fbfafba注：拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：（1）10),))((()()('ababafafbf；（2）10,)()()('hhafafhaf.(1)、（2）两式的特点，在于把中值点表示成了)(aba，使得不论ba,为何值时，总可为小于1的某一正数。吉首大学本科毕业论文设计33、LHospital法则[1]：设函数f和g在点0x的某邻域内（点0x除外）可导，且()0gx，并有00()0()limlimxxxxfxgx。如果极限0()()limxxfxgx存在（有限或无限），则00()()()()limlimxxxxfxfxgxgx三、初等函数对应的微分中值定理中值点的确定初等函数满足拉格朗日中值定理条件及()()()[()]fbfabafaba的函数(,)ab，其中01.若,ab是定值，就可以确定微分中值定理的中值点的位置。引理1.对任意的幂函数()nfxx(n0),[,]xab，其中0ab.若满足()()()[()]fbfabafaba，其中01，则1()nnnbaanbaba证明：对()fx求导得：1()nfxnx由题意可知：1()[()]nnnbabanaba两边同除以()nba，得1[()]()nnnbaabanba两边开n-1次方，得1()()nnnbaabanba易得1()nnnbaanbaba证毕吉首大学本科毕业论文设计4例1.设4)(xxf，其中[,]xab，其中0ab.试求满足()()()[()]fbfabafaba，（其中01且3,1ba）时的值.解：4)(xxf是幂函数，且()()()[()]fbfabafaba中的满足定理1的条件，可得211021)13(413)(43344344abaabab推论1.对任意的幂函数()nfxx(n0),[,]xab，其中0ab若满足()()()[()]fbfabafaba，其中01，证明：对()fx求导得：1()nfxnx由题意可知：1()[()]nnnbabanaba两边同除以()nba，得1[()]()nnnbaabanba两边开n-1次方，得1()()nnnbaabanba因为01,0nn则abaabnabnnn1)(1证毕例2.设21)(xxf，其中[,]xab，其中0ab，试求满足()()()[()]fbfabafaba，（其中01且4,1ba）时的值。解：221)(xxxf是幂函数，且()()()[()]fbfabafaba中的满足推论1的条件，带入上述公式，可得31引理2.对任意的指数函数()xfx，(0,1)，其中[,]xab.若满足吉首大学本科毕业论文设计5()()()[()]fbfabafaba，其中01，则1log()ln()bababa.证明：对()fx的求导得()lnxfx由题意可知：()()lnbaababa两边同除以a，得()1()lnbababa两边同除以()lnba，得()1()lnbababa易得1()log()lnbababa两边同除以ba,得1log()ln()bababa证毕例3.设()xfxe，[,]xab，试求满足()()()[()]fbfabafaba，（其中01且,2aebe）时的值.解：()xfxe是指数函数，且()()()[()]fbfabafaba中的满足定理2的条件，可得2(1)1lnlnln(1)1(2)lnln2eeeeeeeeeeeeeeee引理3.对任意的对数函数()log,fxx，(0,1,)，[,]xab.其中0a，若满足()()()[()]fbfabafaba.其中01，则1loglnabbaaa.证明：对()fx求导得1()lnfxx吉首大学本科毕业论文设计6由题意可得：()()loglog[()]lnbafbfabaaba易得()loglnbaababa两边减a后除以ba，得loglnbaababa1loglnabbaa.证毕例4．设()lnfxx，[,]xab，其中0a，试求满足()()()[()]fbfabafaba，（01且ebea5,3）时的值.解：()lnfxx是对数函数，且()()()[()]fbfabafaba中的满足定理3的条件，可得2335ln1引理4.对任意三角函数()sinfxx，[,]xab，若满足()()()[()]fbfabafaba，其中01，则sinsinarccosbaababa.证明：（1）对()fx求导得''()(sin)cosfxxx由题意可得()()sinsin()cos[()]fbfababaaba两边同除以ba，得sinsincos[()]baababa对cos[()]aba的求反函数，得sinsin()arccosbaababa易得sinsinarccosbaababa证毕例5．设()sinfxx，[,]xab，试求满足吉首大学本科毕业论文设计7()()()[()]fbfabafaba，（其中01且,32ab）时的值.解：()sinfxx是三角函数，且()()()[()]fbfabafaba中的满足定理4的条件，可得112arccos33arccos63233arccos2236小结：对于三角函数这一类函数，若满足()()()[()]fbfabafaba，且01，也同理可以确定的位置.引理5.对任意反三角函数函数()arcsinfxx,[,]xab.其中11,a且11b.若满足()()()[()]fbfabafaba,其中01，则sinsinarccosbaababa.解：对()fx求导，得21()1fxx,根据题意可得2arcsinarcsin1[()]babaaba易得221[()]()arcsinarcsinbaababa2()1()arcsinarcsinbaababa两边减a后除以ba，得21()arcsinarcsinbaababa其中正负号的取法由a及b和符号及条件01决定.例如：当0a时，根号前应取正号.例6.验证拉格朗日定理对于函数()fxarctgx在区间[0,1]上的正确性.解：只需找到(0,1)，使得(10)[()](1)(0)fabaff成立，吉首大学本科毕业论文设计8即在(0,1)中找出一点.使得10()|104xarctgarctgarctgx211[()]4aba,解得24[()]aba易得4aba因此取4aba就符合拉格朗日定理的条件.小结：对于反三角函数这一类函数，若满足()()()[()]fbfabafaba，且01，也同理可以确定的位置.总结：引理1，推论1到引理5，总结归纳出了对于初等函数所对应的微分中值定理中值点的确定。我们可以确定满足()()()[()]fbfabafaba的函数(,)ab，其中01.若,ab是定值，就可以确定微分中值定理的中值点的位置.四、复合函数对应的微分中值定理中值点的确定及渐进性讨论复合函数对应的微分中值定理中值点，相对于初等函数来说，复杂的多，当复合函数满足一定条件时，可以确定微分中值定理的中值点的位置，但大多数复合函数不能确定，只能研究中值点的渐进性。例7设二次函数)