一阶微分方程的初等解法总结

一阶微分方程的初等解法1可分离变量的微分方程2齐次方程3一阶线性微分方程4伯努利(Bernoulli)方程5全微分方程形如)()(yxfdxdy的方程称为变量分离方程..,)(),(的连续函数分别是这里yxyxf1可分离变量的微分方程解法:,)()(dxxfydy这样变量就“分离”开了.Cdxxfydy)()(将方程写成时当,0)(y2两边积分1分离变量即得方程的通解.形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:2齐次方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;机动目录上页下页返回结束是两个不同的概念与上节的“齐次方程”②本节的“齐次方程”函数均为一次函数方程中未知函数及其导注：①所谓线性，即是3一阶线性微分方程齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn,1nyz令代入上式得则,dd)1(ddxyynxzn)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(一阶线性方程)4伯努利(Bernoulli)方程判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程(又叫做恰当方程).①5全微分方程二、积分因子法思考:如何解方程这不是一个全微分方程,,12x就化成例2的方程.,0),(yx使为全微分方程,),(yx则称在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子.常用微分倒推公式:)(ddd)1yxyx)(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx)(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx积分因子不一定唯一.0ddyxxy例如,对可取