经济数学专升本串讲

•济南职业学院•刘明经济数学专升本串讲•做判断题常用到的结论：•1、可导必连续，不连续必不可导，连续未必可导•2、驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点•3、单调函数必可积，可积函数必有界•4、处处有切线的函数未必处处可导•5、处处可导的函数必处处有切线•6、在某点处有极限的充要条件是在这点处左右极限均存在且相等。•7.在某点处连续的充要条件是在这点处的极限等于这点处的函数值。•8、在某点处可导的充要条件是函数在这点处连续，左右导数均存在且相等。•第一章基础知识•1、定义域xxxxxaarcsintan1log、、、、•2、值域•Y=f(x)在[a,b]区间上的值域•(1)求出f’(x),解出驻点及导数不存在的点x0•(2)比较f(a)、f(b)、f(x0)的大小。•3、奇偶性•奇：f(-x)=-f(x),关于原点对称•例如：•偶：f(-x)=f(x),关于y轴对称•例如：注意：1.奇+偶是非奇非偶，如y=x+12.奇函数在对称区间上的定积分值为0xxxsin,,3532223,,cos,cos5xxxxx•4、单调性•求Y=f(x)的单调性•(1)求出f’(x),解出所有驻点及导数不存在的点x0•（2）将以上所有点在数轴上按照从小到大的顺序列出来•（3）最高项系数为正，从最大根右上方穿根。•最高项系数为负，从最大根右下方穿根•（4）奇穿偶切•5、常见函数的图象•一次、二次、三次、指、对、幂（第一象限正抛负双）、三角函数、对勾函数•Y=f(x)在x0处连续的充要条件是•Y=f(x)在x0处有极限的充要条件是00()lim()xxfxfx0lim()xxfxA00lim()lim()xxxxfxfxA注:常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在例判断函数1cos,0()sin,0xxfxxx≤在x=0点处是否有极限.第二章极限与连续•2、间断点类型•（1）第一类间断点：•可去间断点•跳跃间断点•(2)第二类•无穷•其它xyxyxxxyxxy1cos11,01,1123、求极限的方法•（1）直接代入法•（2）两个重要极限注意：•（3）洛必达法则•（4）指数法•（5）分子分母有理化法•（6）同除因子法•（7）等价无穷小法xxxxxxxxxtdtxxxxxxxxxx5tan3sin232111)(sinsin0)11(limlimlimlimlimlim022020020004、无穷小•高阶、低阶、同阶、等价xxxexxxxxarctan,arcsin),1ln(,1,tan,sin,0与以下形式等价5、连续的应用•例：311lim)2(,0,2sin0,)()1(20baxxxxaxxxxaxxfx求等价6、闭区间上连续函数•最值定理、零点存在定理、介值定理•例：.]0,1[,013有且只有一根xx三、导数•1、定义?)()2(lim:)()()(lim0000000xxfxxfxfxxfxxfxx例例证明函数在x=0处连续但不可导.||yx2、导数公式为常数）CC(0).(1为常数）().(21xxaxxaln1).(log314.(ln)xxaaaxxln)(5.xxee).(6xxcos).(sin7xxsin).(cos8xxx22cos1sec).(tan9xxx22sin1csc).(cot10xxxtansec).(sec11xxxcotcsc).(csc12211).(arcsin13xx211).(arccos14xx);()()]()()[1('''xvxuxvxu),()()()()]()()[2('''xvxuxvxuxvxu2)]([)()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu211).(arctan15xx21161.(arccot)xx3、函数求导•（1）复合函数求导：链导法•（2）隐函数求导：•（3）对数求导：•（4）参数方程求导：例yxy求,2lnsin2xxxxy2221212lncos222解：22lncos22xxx22xyxyeyex（2）.隐函数的导数例求方程所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得0)2(2xyeyxxyye22xeexydxdyyyx)0(2xey隐函数即是由=0所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。(,)Fxyy20yxexye即)1ln(2)1(xxxexyy2可以写成函数解一][)1ln(2xxey])1ln([2)1ln(2xxexx)1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx222212)1ln()1(xxxxxyxyx求设,)1(2例)1ln(ln2xxy两边对x求导，由链导法有xxxxyy21)1ln(12222212)1ln(xxx222212)1ln()1(xxxxyx解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：两边取自然对数将函数xxy)1(2解二解：曲线上对应t=1的点（x,y)为（0,0）,曲线t=1在处的切线斜率为1tdxdyk12231ttt122于是所求的切线方程为y=－x123{txtty求曲线在t=1处的切线方程例4、导数的应用•（1）在某点处的切线、法线方程•（2）求单调性•（3）求极值点•方法1：一阶导数等于0或者导数不存在的点。二阶导数大于0，极小值；二阶导数小于0，极大值。•方法2：一阶导数在x0左右异号•（4）求驻点•（5）求最值•（6）凹凸性和拐点：f’’(x)=0或者不存在，解得x=x0,f(x)在x0左右异号•（7）导数在经济上的应用•盈亏平衡点、边际成本、边际收入、边际利润、需求弹性、收入弹性，利润最大化。20000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知收益QL()2000100QQC=C解根据题意，总成本函数为是年产量的函数21400()280000QQRRQ0400Q400Q问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少?从而可得总利润函数为()()()LLQRQCQ21300200000400260000100400QQQQQR()()()LQRQCQ3000400100400QQQ令得0()L300Q由于,故时利润最大01)300(L300Q此时2500020000900002190000)300(L即当生产量为300个单位时,总利润最大,其最大利润为25000元.解需求弹性为例已知某商品的需求函数求,10PeQ,101)(10PePfQ5,10,15PPP时的需求弹性并说明其意义10101()1010PPpPPfPeqe(5)0.5,说明P=5时，价格上涨1%，需求量减少0.5％(10)1,说明P=10时，价格与需求的变动幅度相同(15)1.5,说明P=15时，价格上涨1%，需求量减少1.5％解函数的定义域且在定义域内连续),(例确定函数的单调区间和极值。32xy332xy其导数为当时不存在，且不存在使的点0xy0y用把定义域分成两个区间，见下表：0xx(-∞,0)(0,+∞)f´(x)-+f(x)单减单增是函数的极小值点，极小值是00x有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线，越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。定义如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。1．如果曲线的定义域是无穷区间，且有或,则直线为曲线的渐近线，称)(xfybxfx)(limbybxfx)(lim)(xfy为水平渐近线.如下图xyoxyo例求曲线的水平渐近线。11xy解因为所以是曲线的一条水平渐近线，如图示011limxx0y2、如果曲线满足或)(xfy)(limxfcx)(limxfcx)(limxfcx则称直线为曲线的铅直渐近线（或垂直渐近线），如图cx)(xfy例４求曲线的铅直渐近线。11xy解所以是曲线的一条铅直渐近线。11lim1xx1x如前页图所示例作函数的图形。24(1)2xyx解（1）定义域为:(,0)(0,)（2）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；因为，3)2(4xxy4)3(8xxy令得；令得列表如下:0y2x0y3xx(,3)(3,2)(2,0)－3－20－－0+－－0+++),0(yyy（3）渐近线：因为所以为水平渐近线；22)1(4lim2xxx2x又因为，所以为铅直渐近线。2)1(4lim20xxx0x（4）描出几个点：12(,),A16(,),B21(,),C239(,).Dxyo如图所示作出函数图形5、中值定理•罗尔中值定理：f(x)在[a,b]闭区间上连续，开区间上可导，则拉格郎日中值定理：f(x)在[a,b]闭区间上连续，开区间上可导，则0)(fabafbff)()()(四、不定积分•连续函数可积，可积函数必有界。•1、积分公式(6)sindcosxxxC(1)dkxkxC4.1不定积分的基本积分公式d(3)ln||.xxCx(5)d.eexxxC1(2)d(1).1xxxC(4)d.lnxxxCaaa22d(8)cscdcot.sinxxxxCx(10)sectandsec.xxxxC(7)cosdsin.xxxC22d(9)secdtan.cosxxxxCx(11)csccotdcsc.xxxxC21(12)darcsin.1xxCx21(13)darctan.1xxCx2、凑微分法)(arctan11)(arcsin11)(cossin)(sincos)1(1)(ln121)(1dx2222xddxxxddxxxdxdxxdxdxxddxxxddxxdxxdxbaxda()d()()d()d()gxxfxxxfxx凑微分例求.d)13(2008xxd3113d31d200820082008)13()13(uxxuxx）（于是有－－uud31=200820092009111(31).320096027CxCu.d42xxxd21)4(d421d4)4(21)(21x22222uuxxxxdxddxxx例求Cu233221=.231)4(23Cx)13(31dxdx3、换元积分法•常用换元方法：()d()'()d()d()()fxxftttgttFtCxt换元()tx还原1()FtCtaxataxxtaxxtxxtbaxsec,xtan,asin,a3,x21222222613n有有、有取指数最小公倍数，令、、有、令例求.d)13(2008xxd31d20082008)13(uxux－于是有，，得，