第五章特征值(考研精讲)

第五章特征值与特征向量1、数字型矩阵的特征值与特征向量知识点：定义：1º设nA是阶方阵，如果存在数λ和非零向量x使得xAx，则称λ是A的特征值，称非零向量x是属于λ的特征向量.2º由0)(,xAExAx得称xAx为A的特征矩阵AE为A的特征多项式，它的根就是A的特征值.求法：1）特征值：0AE2）特征向量：0)(xAE即求解线性方程组.注：属于同一个特征值的线性无关的特征向量为)(AEn秩.例1.163053064A解：2)1)(2(163053064AE2、抽象矩阵的特征值与特征向量例2.设3阶矩阵A的三个特征值为1，－2，3，则A－6，A－1的特征值为31,21,1A*的特征值为－6,3,-2A2+2A+E的可逆性可逆4,1,16例3.设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵1231A有一个特征值为（43）.例4.设向量TnTnbbb),,,(,,,,2121都是非零向量，且满足条件TTA记,0，求（1）A2（2）矩阵A的特征值和特征向量例5.设A为3阶矩阵，且0322EAEAEA，则EA32*解：A为特征值为：323,2,1A2,23,3:*即AA7,6,3:32*EA11＝1263、已知矩阵的特征值和特征向量来求矩阵和行列式等问题1）已知特征向量，一般用xAx求解2）已知全部特征值和特征向量反求矩阵A),,(21nA),,(2211nn则),,(2211nnA121),,(n3）已知部分特征值和特征向量，反求另一部分特征值，特征向量或矩阵A4）已知特征值反求行列式例6.设baA6633331有特征值4,221，试求参数a,b的值.解：分析：用特征议程0AE可建立两个方程02AE得0)4)(5(3266323333baba04AE得0]72)2)(7[(3466343333baba由①②得4,5ba例7.设矩阵aA11121112可逆，向量11b是A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值，求a,b,λ.解：AAAAAA)()(**由可逆，知λ≠0，从而AA.即111111121112bAba.得AbabAbAb1223①－②得a=2①b－②得b=1或b=-24211121112A故bA3当1b时，1；当42时b例8.已知3,6321是实对称矩阵A的三个特征值，且对徉332的特征向量为121,10132，求A对应于λ1＝6的特征向量及矩阵A解：设A对应于λ1＝6的特征向量321,,xxx，由于A实对称属于不同特征值正交故02032132131xxxxxxxx故TTTxxxx)1,1,1(,)1,1,1(,,11321取∴属于λ1＝6的特征向量为k进一步)3,3,6(,,321321A故4111411141112011113366063361A①②③4、矩阵相似和对角化的题目（2000，2001，2002，2003，2005，2007）知识点：1º相似矩阵具有相同的特征多项式2º矩阵A可对角化的充要条件且属于A的特征值ix的线性无关的特征向量个数之和有于n。当A可对角化时，把n个线性无关的特征向量作为矩阵P的列向量，则APP1为对解矩阵，且对角矩阵的主对角线性的元素是A的n个特征值。3º实对称矩阵必相似于对角矩阵例9.设A与B相似，其中yBxA00020001,11322002（1）求yx和（2）求可逆矩阵P，使BAPP1分析：已知相似，反过来求参数解：法一A～B，故有相同的特征多项式BEAE得))(2)(1()]2()1()[2(2yxx令0得22)2(2xyyx即令1得02xy法二：yxyxyx22)2(22112（2）由（1）知200020001,113202002BA由3,2,1321，对应特征向量为TTTxxx)1,0,1(,)1,1,0(,)1,2,0(321令221,111012000),,(1321APpxxxp例10.设201021113A（1）求出A的所有特征值和特征向量（2）判断A能否对角化？如能对角化，则求出相似变换矩阵P，使A化为对角形矩阵。解：（1）由)4)(2)(1(301021113AE∴A的特征值为4,2,1321对应于TxxAE)1,1,1(0,1111得）－解方程（对应于TxxAE)1,1,0(0,2222得）－解方程（对应于TxxAE)1,1,2(0,4333得）－解方程（（2）A有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，故A可以对角化令111111201),,(321P则4000200011APP例11.设矩阵5334111yxA，已知A有三个线性无关的特征向量，2是A的二重特征，试求可逆矩阵P，使得APP1为对角形矩阵。解：因为A有三个线性无关的特征向量，2时A的二重，故对应于2的线性无关的特征向量有两个，故秩1)2(AE0002011133321112yxxyxAE2,20,02yxyxx练习若3阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1,-1,2，计算：（1）EA5（2）EB1