北师大版七年级下册第二章平行线与相交线各节学案

12.1两条直线的位置关系(1)一、学习目标：1、知识目标：在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角等角的补角相等，并能解决一些实际问题。2、能力目标：（1）经历观察、操作、推理、交流等过程，发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力。（2）能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题。3、情感目标：在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。二、学习重点：了解补角、余角、对顶角，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等。三、学习难点：学生探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题。初步的“说理”也是难点之一。四、学习设计：（一）预习准备：预习书38、39页，回答下列问题：（1）在内，两条直线的位置关系有和两种。（2）若两条直线，我们称这两条直线为相交线。（3）在内，不相交的两条直线叫。（4）下列图形中是对顶角的有个。（5）预习作业：①已知∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠1+∠2＝_________②已知∠1＝144°，∠2＝36°，那么∠1+∠2＝_________（二）学习过程：1、创设情境，引入课题完成书P38议一议，填空：（1）对顶角具有的特点是①②。（2）对顶角的性质是。2、展示新知：完成书P39想一想，填空：⑴如果两个角的和等于，我们就说这两个角互为余角，简称互余；如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补。⑵符号语言：若∠1+∠2=90o，那么∠1与∠2互余。211∠3与∠422若∠3+∠4=180o，那么∠3与∠4互补。3、注：（1）“互为”这个词语，与“互为相反数”、“互为倒数”等词语中的含义有联系，均表示成对出现；例如∠1和∠2互余，即∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。（2）互为余角以及互为补角的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系。4、应用新知体验成功⑴若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=__________⑵若∠1=90o—∠2，则∠1+∠2=__________（3）填表：5、探讨余角与补角的性质做书P39做一做结论：同角或等角的相等；的补角相等。巩固练习：(1)如图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2．图中哪些角互为余角?哪些角互为补角?∠ADC与∠BDC有什么关系?为什么?∠ADF与∠BDE有什么关系?为什么?(9)已知：如图∠AOB=∠COD=90°，问：图中有几对相等的角，并说明理由（三）课堂练习：1．已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．2．已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）一个角30°70°∠A这个角的余角这个角的补角43343COA22BDD2EFA1BC3A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，若∠COE=55°，求∠BOD的度数．4．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°。求∠BOD，∠AOE的度数．（四）拓展训练：1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．3．（课外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了______度．4．（实际应用题）如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别COEDBA4表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．七、小结：互余互补对顶角数量关系对应图形关系性质2.1两条直线的位置关系(2)一、学习目标：1．使学生理解垂线的意义和垂线的第一个性质．2．会用三角板过一点画已知直线的垂线，培养学生掌握画图的基本技能．3．通过垂线性质的教学，培养学生发现问题的能力．二、学习重点：垂线的意义、性质和画法三、学习难点：垂线的画法四、学习设计：（一）预习准备：预习书P41，回答下列问题：1∠3与∠4243433215(1)在平面内的两条直线有和两种位置关系，而垂直是位置关系中的一种特殊情况。（2）,那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫．（3）通常用符号表示两条直线互相垂直，“⊥”读作“垂直于”，如AB⊥CD于M，含义是直线AB与直线CD垂直，垂足是M。（4）如图，若AB⊥CD于O，则∠AOC=°；若∠BOC=90°，则。（二）学习过程：（1）自主探究：垂线的画法，完成书P41的做一做。巩固练习：如图，在方格纸上，分别过A画AD的垂线、过B画EF的垂线、过C画GF的垂线.（2）自主探究：垂线的性质，完成书P41、42想一想。结论：平面内，过一点与已知直线垂直。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，。叫点到直线的距离。巩固练习：如图，通过画图并量得点A到直线l的距离等于厘米.（精确到0.1厘米）（三）课堂练习：1、判断题：（1）在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（）（2）过直线上一点不存在直线与已知直线垂直.（）（3）过直线l外一点A作l的垂线，垂线的长度叫做点A到直线l的距离.（）（4）一条线段有无数条垂线.（）（5）如图，线段AB与线段CD不可能互相垂直，因为它们不可能相交.（）（6）互相垂直的两条直线形成的四个角都等于90º.（）62、下列说法错误的个数是()①一条直线的垂线只有一条；②一条直线的垂线有无数条；③过一点画一条直线的垂线只能画一条A、0B、1C、2D、33、如果两条直线相交成()，那么这两条直线互相垂直A、锐角B、直角C、钝角D、任意一个角4、过一条线段外一点画这条线段的垂线，垂足在()A、这条线段上B、这条线段的端点上C、这条线段的延长线上D、以上都有可能5、在一个平面内过直线l上一点A画l的平行线，能画出条；过直线l上一点A画l的垂线，能画出条.6、在下列各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线.（1）（2）（3）（4）7、将一张长方形纸对折，使OA与OB重合，这时∠AOC是什么角？为什么？（四）拓展训练：1、按照题目的要求，分别画出图形，并回答有关问题.（1）画长3cm的线段AB，取AB的中点O，过O作线段AB的垂线l，在l上任取一点P，连接PA，PB，量一量线段PA，PB的长度，你发现什么结论？（2）画一个∠ABC，作出∠ABC的角平分线BD，在BD上任取一点P（除B点外），过P分别作PM⊥BA，PN⊥BC，垂足分别是M，N，量一量线段PM，PN的长度，你发现什么结论？2、按题目要求画图，并回答相关问题.（1）画两条直线m，n，使m∥n，在直线m上任取两点A，B，分别过A，B作直线n的垂线，垂足分别为C，D，量一量线段AC，BD的长，你发现了什么结论？（2）如图，点P是∠AOB内一点，过点P作PM⊥OA，垂足为M，作PN⊥OB，垂足为N，量一量∠MPN和∠O，你发现了什么结论？743212.2探索直线平行的条件（1）一、学习目标：1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。2、会认由三线八角所成的同位角。3、掌握平行线公理及平行线的传递性。4、掌握直线平行的条件并能解决一些问题二、学习重点：会认各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”三、学习难点：判断两直线平行的说理过程四、学习设计：（一）课前准备（1）预习书44-48页（2）思考①什么叫同位角、内错角、同旁内角？②同位角、内错角、同旁内角有什么特征？（3）预习作业如图所示，①12与是角；它们是由直线和直线，被直线所截得的；②14与是角；它们是由直线和直线，被直线所截得的；③34与是角；它们是由直线和直线，被直线所截得的。（二）学习过程1、两直线被第三直线所截，可形成的角有，，。例1如图是同位角关系的两角是，是互补关系的两角是，是对顶角的是。2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角，那么这两直线。简称：（公理）如图，可表述为：∵()∴()例2如图（1）,()abca已知12（垂直的定义）HGFEDCBA4321FEDCBA21cba218∴∥（同位角相等，两直线平行）（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律变式训练：如图所示1、12（已知）∴∥（）2、23（已知）∴∥（）例3、如图，已知00165,2115，直线BC与DF平行吗？为什么？变式训练：如图，已知00170,2110，试问a与b平行吗？说说你的理由。过已知直线a外一点p画a的平行线bP.a1、平行线公理：过直线外一点有条直线与这条直线平行。2、平行线的传递性：几何语言：拓展：如图，已知12，问再添加什么条件可使AB∥CD？试说明理由。dcba321NMFEDCBA21FEDCBA21cba32192.2探索直线平行的条件（2）一、学习目标：1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。2、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。二、学习重点：弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。三、学习难点：会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。四、学习设计（一）预习准备（1）预习书47-48页（2）回顾：①什么是同位角？什么是内错角？什么是同旁内角？同位角、内错角、同旁内角的特征（简称“三线八角”）如下表：基本图形角的名称位置特征图形结构特征214365②同位角相等，两直线平行。（3）预习作业：如图所示：（1）如果1D，那么∥理由是（2）如果1B，那么∥理由是（3）如果0180AB，那么∥理由是（4）如果0180AD，那么∥理由是（二）新课学习：EDCBA1102BDCA1平行判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角，那么这两直线。简称：如图，可表述为：∵()∴（)平行判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角，那么这两直线。简称：如图，可表述为：∵()∴（)例1、如右图，∵∠1＝∠2∴∥，∵∠2＝∴∥，（同位角相等，两直线平行）∵∠3＋∠4＝180°∴∥，∴AC∥FG，变式训练：如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？例2、如图，已知0040,1140B，那么AB∥CD成立吗？请说明理由。变式训练：如图所示，若∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？解：为∠1+∠2=180°（）所以AB∥_______（）又因为∠1=∠3（）所以∠2+∠________=180°（）所以EF∥GH（）ABCDEFG1234DCBA112BDCA11拓展：1、如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由．解：AB∥CD理由如下：∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线（）∴∠1=,∠2＝（）∵∠1+∠2=90º()∴∠ABD+∠CDB＝＝＝180º。∴CD∥AB（）2.如图所示，根据下列条件可推得哪两条直线平行，并说明理由。（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180º；（3）∠CAD＝∠ACB。当堂测评：1．下列结论中，不正确的是（）A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相