人教版高中数学基础知识体系精编

1一、平面向量一知识汇总：1、baba//；2、0baba；3、平面向量基本定理：若ba,是不共线的非零向量，对任一向量c，存在唯一实数,，使得：bac；4、数量积；babababababa,cos,cos；5、向量的模：22aaa；6、a在b上的投影：bbabaa,cos（注意：这一结论常用在立几中求“点到面的距离；或异面直线间的距离等距离”问题上。7、坐标运算：设),(),,(2211yxbyxa，则：（1）21211221//yyxxyxyxba；（注意：这一结论可证明三点共线问题）（2）02121yyxxbaba；（3）212122yxaaa；（4）2121yyxxba；二、常用结论：1.点P、A、B共线OByOAxOP，且x+y=12.三角形中“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OAOBOC.（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.三温馨提示：“向量的数量积运算”与“多项式的运算”类似——可移项；提公因式；乘法运算等。二、集合、简易逻辑一常用结论：1.元素与集合的关系:UxAxCA,UxCAxA.2.包含关系ABAABBUUABCBCAUACBUCABR3．集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.二温馨提示：21、在研究两集合的包含关系时你考虑空集的情况了吗？三、函数一常用结论：1.函数的单调性:(1)设2121,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.2.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数;如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.3.若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.4.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称.5.若)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.6.函数()yfx的图象的对称性(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax(2)()faxfx.(2)函数)(xfy的图象关于点)0,(a对称)2()(axfxff(a+x)=-f(a-x)7.两个函数图象的对称性(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线y轴对称.(2)函数()yfx与函数y=-f(x)的图象关于直线x轴对称.(3)函数()yfx与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.(4)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称.(5)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=-x对称.*8.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.9．互为反函数的两个函数的关系:abfbaf)()(1.10.几个常见的函数方程(1)正比例函数()fxcx,()()(),(1)fxyfxfyfc.(2)指数函数()xfxa,()()(),(1)0fxyfxfyfa.(3)对数函数()logafxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa.(4)幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf.(5)余弦函数()cosfxx,正弦函数()singxx，()()()()()fxyfxfygxgy，0()(0)1,lim1xgxfx.11.几个函数方程的周期(约定a0):（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)(()(1)(xfxfaxf，或1()()fxafx(()0)fx,3或21()()(),(()0,1)2fxfxfxafx,则)(xf的周期T=2a；(3))0)(()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期T=3a；(4)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；（5）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；（6）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数；（7）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2ba的周期函数；（8）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=)(1xf，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；12.设函数)0)((log)(2acbxaxxfm,记acb42.（1）若)(xf的定义域为R,则0a，且0;（2）若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.13.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.15.你知道函数的单调区间吗？（该函数在ab,(或),[ab上单调递增；在)0,[ab或ab,0(上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！〈二〉温馨提示：1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？2．原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．3．判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？4、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值,作差,判正负.)5.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.6、你知道判断balog符号的快捷方法吗？（正==a、b在相同区间内；负==a、b在相反区间内）四、不等式：一常用结论:1.解连不等式()NfxM常有以下转化形式:()NfxM[()][()]0fxMfxN|()|22MNMNfx()0()fxNMfx11()fxNMN.2．柯西不等式22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR3．极值定理:已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s.44.无理不等式：（1）()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx.（2）2()0()0()()()0()0()[()]fxfxfxgxgxgxfxgx或.（3）2()0()()()0()[()]fxfxgxgxfxgx.5.指数不等式与对数不等式(1)当1a时,()()()()fxgxaafxgx;()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx.(2)当01a时,()()()()fxgxaafxgx;()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx6.高次（或分式）不等式用：数轴穿（标）根法。〈三〉温馨提示：1.分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）2.解指对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性,对数的真数大于零.）3.利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？五、三角函数：一知识汇总：1、几个常用关系式①sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示．)同理可以由sinα–cosα或sinα·cosα推出其余两式．②21sin1sin2．③当0,2x时，有sintanxxx．(2)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．52．三角形中的三角变换(1)角的变换：因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=–cosC；tan(A+B)=–tanC．（2）在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC．(3)在△ABC中，熟记并会证明：①∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°．②△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列．3．三角形的面积公式：（1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）．（2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB．（3）△＝))()((csbsass；)(21cbas．4、正余弦定理的变形形式有：a=2RsinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222．二常用结论：1．(1)若(0,)2x，则1sincos2xx.(2)|sin||cos|1xx.2.22sin()sin()sinsin(平方正弦公式);22cos()cos()cossin.〈三〉温馨提示：1.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？2.在三角中，你知道1等于什么吗？（这些统称为1的代换）常数“1”的种种代换有着广泛的应用．3.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次）4.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()六、数列：一知识汇总：1、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法：①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则na为等差数列；②若，则na为等比数列。6(3)中项公式法：验证都成立。2.在等差数列na中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当10a,d0时，满足的项数m使得mS取最大值.(2)当10a,d0时，满足的项数m使得mS取最小值。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。4．注意事项：⑴证明数列na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa或11nnnnaaaa而得。⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。⑷注意一些特殊数列的求和方法。⑸注意