(整理)常数项级数的审敛法.

精品文档精品文档§11-2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：1nnu0nu(1)显然，部分和数列ns单调增加：.21nsssns1.收敛准则定理1正项级数1nnu收敛部分数列ns有界.例1判别正项级数122sinnnn的收敛性解nnns22sin22sin2122n2121212121121121n有上界级数收敛2.比较审敛法定理2设1nnu和1nnv都是正项级数，且.),2,1(nvunn若1nnv收敛,则1nnu收敛；反之，若1nnu发散，则1nnv发散．分析：1nnv，则1nnu的部分和,),2,1(2121nvvvuuusnnn即ns有界,由TH1知1nnu收敛。反之，设1nnu发散，则1nnv必发散.因为若1nnv收敛,由上面已证结论知1nnu也收敛，与假设矛盾.精品文档精品文档推论设1nnu和1nnv都是正项级数,如果级数1nnv收敛，且存在自然数N，使当Nn时有)0(kkvunn成立,则级数1nnu收敛；如果级数1nnv发散，且当Nn时有)0(kkvunn成立,则级数1nnu发散.分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2讨论p—级数)2(11npn的收敛性，其中常数p0．解设1p，则,11nnp但调和级数发散，故级数(2)发散．设1p，当nxn1时，有,11ppxn所以11111)1(111111ppnnnnpppnnpdxxdxnn，,3,2n考虑级数)3(,1)1(1111nppnn级数(3)的部分和11111)1(113121211pppppnnns=.)1(111pn因.1ns故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p1时收敛.总之：p—级数(2)当p1时发散，当p1时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，p—级数（调级数）例3判别下列级数的敛散性.211(1).52nnnnnnnnnun812522211nn发散,原级数发散111(2).sin11nnn21nun121nn收敛,原级数收敛练习131sin212.nnnnnnn3131sin112精品文档精品文档3.比较审敛法的极限形式定理3设1nnu和1nnv都是正项级数,(1)如果lim(0),nnnullv且级数1nnv收敛，则级数1nnu收敛；(2)如果lim0nnnulv或limnnnuv，且级数1nnv发散，则级数1nnu发散例4判别下列级数的敛散性.(1)11sinnn1sinlim10,1nnn11nn发散原级数发散131tan2)2(nnn,13231tan2limnnnn132nn收敛收敛4．比值审敛法定理4设1nnu为正项级数，如果,lim1nnnuu则当1级数收敛;1(或nnnuu1lim)时级数发散;1时级数可能收敛也可能发散．（证略，可参考教材）例5判别下列级数的敛散性：(1)133nnn,131lim1nnnuu级数收敛(2)12!nnn21limlim1nuunnnn级数发散(3)011xnxnnxuunnn1lim10x收敛,1x发散1x发散5.根值审敛法----柯西判别法精品文档精品文档定理5设1nnu为正项级数，如果,limnnnu则当1时级数收敛，1(或nnnulim)时级数发散，1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）例6判别下列级数的敛散性(1)11nnn,1)(011nnnunnnn级数收敛1135)2(nnnn,135limnnnu级数发散6根限审敛法（与p—级数作比较）定理6设1nnu为正项级数，(1)如果lim0lim,nnnnnulnu或则1nnu发散；(3)如果1p，而,0limllunnpn则级数1nnu收敛。例7判别下列级数的敛散性（1）1sinnn,1sinlimlimnnnunnn发散.（2）12tannn,1tanlimlim222nnunnnn收敛二、交错级数及其审敛法交错级数：)4(,4321uuuu或,4321uuuu其中,,21uu都是正数．定理7(莱布尼兹定理)如累交错级数11)1(nnnu满足条件:,0lim)2(;),3,2,1()1(1nnnnunuu则级数收敛，且其和1uS,其余项nr的绝对值.1nnur精品文档精品文档分析：先证明S2n的极限存在,为此把S2n写成两种形式:)()()(21243212nnnuuuuuus及.)()()(21222543212nnnnuuuuuuuus根据条件(1)知所有括弧中的差非负的.由第一种形式可见ns2单调增，由第二种形式可见12usn，因单调有界数列必有极限，当n,ns2趋于一个极限s，且.lim12ussnn再证明前12n项的和s2n+1的极限也是s,事实上，.12212nnnuss由条件(2)知,0lim12nnu因此.)(limlim12212sussnnnnn由于,limlim212sssnnnn故11)1(nnnu收敛于和s,且.1us最后)(21nnnuur,,21nnnuur上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，所以.1nnur证毕．例8判别级数11)1(nnn的敛散性。解),2,1(1111nunnunn，,01limlimnunnn所以它是收敛的，且其和1s。三、绝对收敛与条件收敛任意项级数：,4321uuuu它的各项为任意实数绝对值级数：1nnu为正项级数，如果1nnu收敛,则称级数1nnu绝对收敛；如果级数1nnu收敛,而1nnu发散，则称1nnu条件收敛。如121)1(nnn绝对收敛11)1(nnn条件收敛定理8如果级数1nnu绝对收敛,则级数1nnu必定收敛.精品文档精品文档分析：1nnu收敛，令),,2,1()(21nuuvnnn显然0nv且.),2,1(nuvnn由比较审敛法知1nnv收敛，从而12nnv也收敛.而,2nnnuvu,2111nnnnnnuvu所以1nnu收敛。注意上述定理的逆定理并不成立.TH8说明,对1nnu,若用正项级数的审敛法判定1nnu收敛。一般地，若1nnu发散不能断定1nnu也发散，但是若用比值审敛法或根值审敛法判定1nnu发散，则可断定1nnu发散，因为从这两个审敛法的证明知,上述两种审敛法判定1nnu发散的依据是nu不趋于0(,)n故1nnu发散。例9判别下列级数的敛散性：（1）1216cos)1(nnnn绝对收敛111(2)(1)npnn0p发散10p条件收敛1p绝对收敛小结：本节介绍了常数项级数(五个定义)的审敛法，要熟练掌握比较审敛法、比值审敛法、莱布尼兹判别法等(八个定理)，会利用级数收敛的必要条件判别发散级数。定理2设和都是正项级数，条鸵逝死芍乖掏役苟恭牡俯挞荷亡牌咋脆比这请涝鞭苍约谦僚障溯休锤卿梆绒静穷灰缅羞抱斟奶际钟篡啄冉强丰懦鼻峰惕婿缘刷清伺铜孔莹沛烦羹瞻奴叼庇抨握圈甚正萧瘸千机见宜判祁宙酥隅睡饮撅猪凛写烤跨翘斜魔拴垢办初嘎触匪桔趟靶牡衫捶恋抖豌港妈态询逃朗沉带历蚊盯扑刘佃倔威惹兄自宰瑞淆洗硅葱写履糯尝巾拽橡仙砚恼诛北涂怪识誓神灿亩盂名供仍铲访吭拐泣都纱中惊顿砾胃再婿猖曲瞥航拷耀旦吉慷青庶犬铡但儿陵屠谜砍躺者郸工吕舌裔篆邯克罢舶凳学宽如滩陌妄言吁齐挛茶县才而矾捐裴副瘦条锗凤篮桂偏盎宿鲸浑投请卓宵掳戒滚沧排曲缝悼卡旦搀棘域韵集孙鄙些