7-4一阶线性微分方程

一、一阶线性微分方程二、齐次线性方程的解法三、非齐次线性方程的解法第四节一阶线性微分方程第七章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:d()()dyPxyQxx若Q(x)0,称为非齐次方程.若Q(x)0,称为齐次方程;例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.(2)dyxydx(1)102dyydxx是齐次线性方程.是非齐次线性方程y3x25x(2)3x25x5y0是非齐次线性方程(3)yycosxesinx考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？(4)10xydydx不是线性方程23(1)0dyyxdx(5)320(1)dyxdxy23(1)dxydyx或不是线性方程分离变量:两边积分得:ln()dlnyPxxC故通解为:d()PxxyCe二、齐次线性方程的解法(使用分离变量法)d()0dyPxyx齐次方程是变量可分离方程d()()dyPxyQxx(一阶线性微分方程)d()dyPxxy例1求方程的通解.解1：解2：这是齐次线性方程：由通解公式得原方程的通解为：(2)dyxydxln|y|ln|x2|lnC原方程可变为2dydxyx两边积分得方程的通解为yC(x2)1(2)dyydxx1()(2)pxx1(2)()PxdxdxxyCCeeln(2)(2)xCeCx()dd()0,dPxxyPxyyCex三、非齐次线性方程的解法()()dyPxyQxdx,)()(dxxPyxQydy两边积分,)()(lndxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为设,)()(lndxxPxvy()().vxPxdxeye即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:)(xuC()(),dyPxyQxdx()dd()0,.dPxxeyPxyyCx()).(Pxdxuxye对应齐次方程通解代入原方程得和将yy,)()()(CdxexQxudxxP),()()(xQexudxxP积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(非齐次方程特解()()()()[()]PxdxPxdxyuxeuxPxe()()dyPxyQxdx()()Pxdxyeux()()()PxdxPxdxyeQxedx).()(xQyxPdxdy()()(())PxdxPxdxyeQxedx()()()()()().(())()()()()()PxdxPxdxPxdxPxdxPxdxPxdxePxQxedxeQxedxPxeQxedxQx即：()()()PxdxPxdxyeQxedx是非齐次方程一个特解.验证是非齐次线性方程的一个特解：()()dyPxyQxdx常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.齐次线性方程的通解()dPxxyCe非齐次线性方程：).()(xQyxPdxdydxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQ11sindxdxxxxeedxCxlnlnsinxxxeedxCx1sinxdxCx1cos.xCx解:例2dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([例3解方程解:先解d20,d1yyxx即d2d1yxyx积分得即2(1)yCx用常数变易法求特解.2()(1),yuxx则2(1)2(1)yuxux代入非齐次方程得解得322(1)3uxC故原方程通解为令52d2(1).d1yyxxx3220dxyyxdy例4求方程32(21)0ydxxydy的通解.解：方程变为3212dyydxxy把y看成是x的函数：不便求解3221dxyyxdy但若写成：则为一阶线性微分方程于是对应齐次方程：分离变量，并积分得2,dxdyxy121xCy常数变易法21(),xuyy代入原方程1()uyy()ln||uyyC故原方程的通解为21(ln||)xyCy例5：解方程d1dyxxyddxxyy,uxy,yuxdd1ddyuxx法1.取y作自变量:线性方程.法2.作变换则代入原方程得d11,duxud1duuxu可分离变量方程1ududxu两端积分得ln|1|lnuuxC以uxy代入上式：ln|1|ln,yxyC1.yxCey或内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程作业：P3151(1),(3),(7);2(2),(4);7(1),(3)思考与练习1、判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2sin()5(提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次型方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程2、求下列方程的通解:2)(dd)1(yxxy11dd)2(yxxy)ln(ln)3(yxyyyx1cossin2sin)1(sin2)4(22xxxyxyy0d)1(d)1()5(22yyxxyxxxyy3.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.