2.4一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的一般形式方程的判别式当∆＞０时，方程才有解，可以用求根公式写出它的根求根公式200axbxca24bac242bbacxa复习回顾：填写下表：方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系1x2x21xx21xxabac猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？)0(02acbxax1x2x0432xx0452xx01322xx23212123214656531213434如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程根与系数的关系224422bbacbbacaa20(0)axbxca中22442bbacbbaca22baba12xx221244,22bbacbbacxxaa12xx224422bbacbbacaa2222()(4)4bbaca222(4)4bbaca244acaca韦达（1540——1603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。，xx、．的两根是方程073512则为根的那么以如果1383212121x、x，x，xxx．)(一元二次方程是2,2()、下列方程中两实根的和是的方程是0422xxA0422xxC0422xxB0422xxD3575,BD03832xxA03832xxC03832xxD03832xxB小试牛刀例1：设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（2）21,xx22310xx2212xx1211xx解：设方程的两个根是x1x2那么x1+x2=-—x1.x2=-—.3221（1）x12+x22=（x1+x2）2-2x1.x2=（-—）2-2（-—）=—32211341（2）—+—=————=———=3x11x1.x2x1+x2x21223设是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值。12,xx22430xx12(1)(1)xx2112xxxx②①巩固练习例2：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是-2，4.写出这个方程2:30xbxc解由题意可设方程为：2,833bc26,2436240bcxx该方程为1.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一个根是，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53巩固练习解：设方程的两根分别为和，则：而方程的两根互为倒数即：所以：得：2.方程的两根互为倒数，求k的值。01232kkxx1x2x1221kxx121xx112k1k2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当时，才能应用根与系数的关系.1.一元二次方程根与系数的关系是什么?240bac1若方程3x2＋(k2－3k－10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为（）A．5B．－2C．5或－2D．02.m为何实数时，方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的根都小于零？拓展延伸B分析：要使原方程的根都小于零，必需Δ≥0，x1＋x20，x1·x2＞03.已知方程X2+kX+k+2=0的两个根是X1、X2，且X12+X22=4，求k的值。解：由根与系数的关系得：X1+X2=-k，X1.X2=k+2又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2（k+2）=4K2-2k-8=0解得：k=4或k=-2∵△=K2-4（k+2）当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴k=-2拓展延伸