概率与数理统计湘潭大学版答案

上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院1概率论与数理统计习题湘潭大学编教材上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院2第一章随机事件及概率上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院3P23习题1.3试证()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC证明：由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有故有()()()()PABPAPBPAB()(())PABCPABC()()(())PBPCABPAC()()()(())PAPPACBPCCBPAB()()()()PAPBPCPAB()()()PACPBCPABC上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院4P23习题1.7在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。解：用x,y分别表示从(0,1)中取出的2个数，则样本空间Ω为正方形：01,01.xy如图所示，K为区域：01,01,6/5xyxyK所以由几何概率得:1441172556/50.68.125Pxyx+y=6/5上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院5解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得红球}P23习题1.9袋中有10个球，其中8个红球，2个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率：(1)两次都取红球；(2)两次中一次取得红球，另一次取得白球；(3)至少一次取得白球；(4)第二次取得白球。上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院6解(1)P(AB)=P(A)P(B|A)118711109CCCC17.252()()()(|)()(|)PABPABPAPBAPAPBA111188221111109109CCCCCCCC16452817(3)1()14545PABPAB(4)()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA111182211111109109CCCCCCCC82210915上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院7解：设A={甲译出密码},B={乙译出密码},P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4则A,B,C相互独立，且C={丙译出密码}.则此密码被译出的概率为()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC11111110.6.53415122060P23习题1.10甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被译出的概率。上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院8P23习题1.11玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯,否则退回，求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院9解(1)设Ai＝{一箱玻璃杯中含有i个残次品},i=0,1,2;B={从一箱玻璃杯中任取4只无残次品},由题设可知20()()(|)iiiPBPAPBAP(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1.根据全概率公式得4442019184442020200.80.10.1CCCCCC44847500()0.895(2)(|)448()112475PABPABPB上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院10P23习题1.12设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院11解设A＝{经过校正的枪},C={射击中靶},由题设可知()()(|)()(|)PCPAPCAPBPCBP(A)=5/8,P(B)=3/8,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.3.根据全概率公式得49.80()(|)40(|).()49PAPCAPACPCB＝{未经校正的枪},上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院12P23习题1.13对飞机进行3次独立射击,第1次射击的命中率为0.4、第2次为0.5、第3次为0.7.飞机被击中1次而坠落的概率为0.2,被击中2次而坠落的概率为0.6,若被击中3次飞机必坠落,求射击3次使飞机坠落的概率.设B={飞机坠落}，Ai={飞机被击中i次},i=1,2,3由全概率公式则B=A1B+A2B+A3B,解:依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院13可求得:为求P(Ai),将数据代入计算得:3123()()PAPHHH2123123123()()PAPHHHHHHHHH1123123123()()PAPHHHHHHHHH设Hi={飞机被第i次射击击中},i=1,2,3P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院14于是=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机坠落的概率为0.458.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院15P24习题1.14某人每次射击的命中率为0.6，独立射击5次，求：（1）击中3次的概率；（2）至少有1次未击中的概率.解:（1)33255(3)0.6(10.6)0.3456PC(2)考虑至少有1次未击中的对立事件，即每次都击中，其概率为：5550.6C故至少有1次未击中的概率为55510.60.92224C上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院16P24习题1.15某车间有12台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为0.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率.解：设A={任一指定时刻有3台以上车床发生故障},又因为则A={在任一指定时刻有少于3台车床发生故障}上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院17有0台车床发生故障的概率为有1台车床发生故障的概率为有2台车床发生故障的概率为故0012120.30.7C1111120.30.7C2210120.30.7C()1()PAPA1211112210121210.70.30.70.30.7CC上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院18P24习题1.16若1人负责维修同类型的设备20台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是0.01，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3人共同负责维修80台呢？上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院19解:(1)设A={设备发生故障而不能得到及时处理},则A={在任一时刻至多有1台设备发生故障}2011920()(0.99)(0.99)0.01,PAC故()1()PAPA20119201(0.99)(0.99)0.01C0.01686.上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院20解:(2)设A={设备发生故障而不能得到及时处理},则A={在任一时刻至多有3台设备发生故障}8017980()(0.99)(0.99)0.01PAC故()1()PAPA0.00866.278280(0.99)(0.01)C377380(0.99)(0.01)C上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院21第二章随机变量及其分布上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院22P43习题2.3一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为1/2。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的概率分布与E[1/(1+X)]。上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院23解:X的取值为0,1,2,3P{X=0}=1/2X的概率分布为X0123P1/21/41/81/8(2)E[1/(X+1)]=1×1/2+1/2×1/4+1/3×1/8+1/4×1/8=67/96P{X=1}=1/2×1/2=1/4P{X=2}=1/2×1/2×1/2=1/8P{X=3}=1/2×1/2×1/2=1/8上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院24P44习题2.8设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A;(2)P{0.3X0.7};(3)X的概率密度f(x)解:(1)F(x)在x=1点连续,由右连续性得:即:1)1(lim21FAxx所以,A=1(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4P{X=1}=F(1)－F(1－0)=1－A=01lim()(1)xFxF200()0111xFxAxxx上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院250，x02x，0≤x10，1≤x即:200()0111xFxAxxx(3)()fxFx201()0xxfx其它上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院26P44习题2.12设r.vX~U(2,5).现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。解:由题意得:记A={X3},则P(A)=P{X3}=5331dx2/3125~()30xXfx其它设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则Y~B(3,2/3)上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院27所求为P{Y=2}+P{Y=3}0333223)31()32()31()32(CC=20/27设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则Y~B(3,2/3)P{Y≥2}=上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院28内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.P44习题2.17设随机变量X的绝对值不大于1；在事件{-1X1}出现的条件下，X在(-1,1)试求:(2)X取负值的概率P(1)1/8,(1)1/4;PXPX(1)X的分布函数F(x)解(1)(2)()(1)/2Fxx()5(1)/16Fxx(1)1/8.PPX上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院29F(x)的三性质都不满足单调减右不连续未定义()Fx(1)/2,11xx1/8,1x1/4,1x①(0)1/21/4(1)FF()0?F②()1?F③(10)01/8(1)FF上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院30分布函数F(x)三性质①F(x)的单调不减②1)(0xF1)(F0)(F③右连续)()0(xFxF上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院31解由题设知设于是(1)当1,x()()()0FxPXxP当1,x()()()1FxPXxP当11,x(11)(11)(1)(1)PXPXPXPX11/81/45/8(111)(1)PXxXkx上式中令得1x12k1/2k(111)(1)/2PXxXx还可另法求k推导较复杂先做准备工作.上一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院32)11,1(XxXP)1()1()(xXPFxF)11(XP)111(XxXP2/)1)(8/5(x又)1()1()1()1(