第五章--相似矩阵

第五章相似矩阵1．教学目的和要求：(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3)简单了解Jordan标准形.2．教学重点：(1)方阵的特征值与特征向量.(2)矩阵的相似对角化.3．教学难点：矩阵的相似对角化.4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A和向量X的运算:AX.从矩阵上提出的问题是：能否找一个数和一个非零向量X,使XAX,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan标准形.5．教学内容：§5.1方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的概念在一些应用问题中常会用到一系列的运算:.,,,,2XAXAAXk为了简化运算，希望能找到一个数和一个非零向量X，使XAX，这样的数和向量X就是方阵的特征值与特征向量.定义：对于n阶方阵A,若有数和向量0x满足xxA,称为A的特征值,称x为A的属于特征值的特征向量．下面给出特征值与特征向量的求法：特征方程：0)(xEAxxA或者0)(xAE0)(xEA有非零解0)(detEA0)(detAE特征矩阵：EA或者AE特征多项式：nnnnnnaaaaaaaaaEA212222111211)(det)(])1([01110nnnnnaaaaaA的特征值与矩阵A又有什么关系呢？定理1：设n阶方阵)(ijaA的n个特征值为n,,21则(1)nnnaaa221121)(1Atraniii称为矩阵A的迹。(主对角元素之和)(2)Annii211例1求201034011A的特征值与特征向量．例2，例3见书第136、137页.2.特征向量的性质方阵A关于特征值i的特征向量是齐次线性方程组0)(XAIi的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21,XX是A对应于i的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211XkXk仍是A关于i的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A的特征向量的线性相关性。定理2：设rXXX,21，是矩阵A的不同特征值所对应的特征向量，则rXXX,21，是线性无关的。定理3：矩阵A的s个不同特征值所对应的s组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。定理4：设0是n阶方阵A的一个t重特征值，则0对应的特征向量中线性无关的最大个数.t由以上定理可知，若A有n个互异的特征值：,,,21n则每个i仅对应一个线性无关的特征向量，从而A共有n各线性无关的特征向量。例4求122212221A的特征值与特征向量．解2)1)(5(122212221)(0)(1,5321求51的特征向量：4222422245EA000110101行,1111p)0(111kpkx求132的特征向量：222222222)1(EA000000111行,0112p,1013p3322pkpkx（32,kk不同时为0）例5设33A的特征值为3,2,1321,求)3(det3EAA．解设13)(3tttf,则EAAAf3)(3的特征值为17)(,3)(,1)(321fff故51)17(3)1()3(det3EAA思考题：设4阶方阵A满足条件：,0det,2,0)3det(AEAAAET求*A的一个特征值。(答案：34)作业：习题册第五章第一节。§5.2矩阵相似对角化1．相似矩阵：对于n阶方阵A和B,若有可逆矩阵P使得BAPP1,称A相似于B,记作BA~．相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下列三个性质：(1)AA~：AAEE1(2)ABBA~~：APBP)()(111(3)CACBBA~~,~若两个矩阵相似时，我们可以得到什么结论呢?定理1:设n阶方阵A和B相似，则有(1),)()(BrAr(2)，BAA)3(和B的特征多项式相同，即,BIAI从而A和B的特征值相同。证明：性质(1),(2)显然，下面只证明性质(3).因为,~BA故存在可逆矩阵P使,1BAPP于是.)(111AIPAIPPAIPAPPIBI显然，若方阵A与对角阵相似，则对角阵对角线上的元素即为A的特征值。例1：设矩阵12422421xA与45y，求.,yx解：利用A得到方程,0843yx再利用)()(trAtr，得到.12yx有了对角阵，我们可以利用它来计算矩阵的方幂：若1PBPA，则.1PPBAkk2．矩阵相似对角形若方阵A能够与一个对角矩阵相似,称A可对角化．定理2n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量．证必要性．设可逆矩阵P使得def11nAPP即PAP．划分nppP1,则有nnppppA11nnnpppApA111),,2,1(nippAiii因为P为可逆矩阵,所以它的列向量组npp,,1线性无关．上式表明：npp,,1是A的n个线性无关的特征向量．充分性．设npp,,1线性无关,且满足),,2,1(nippAiii,则nppP1为可逆矩阵,且有nnnpppApAAP111Pppn1即APP1．[注]~A的主对角元素为A的特征值．推论1nnA有n个互异特征值A可对角化．推论2设nnA的全体互异特征值为m,,,21,重数依次为mrrr,,,21,则A可对角化的充要条件是,对应于每个特征值i,A有ir个线性无关的特征向量．例2判断下列矩阵可否对角化：(1)6116100010A,(2)122212221A,(3)201034011A解(1))3)(2)(1()(A有3个互异特征值A可对角化对应于3,2,1321的特征向量依次为1111p,4212p,9313p构造矩阵941321111P,321则有APP1．(2)2)1)(5()(例1求得A有3个线性无关的特征向量A可对角化对应于1,5321的特征向量依次为1111p,0112p,1013p构造矩阵101011111P,115则有APP1．(3)2)1)(2()(,例2求得,对应于2重特征值132,A只有1个线性无关的特征向量A不可对角化．例3设122212221A,求),3,2(kAk．解例4求得101011111P,115,使得APP1：11,PPAPPAkk故21112111131)1()1(5101011111kkkkA25555255552531kkkkkkkkk（k)1(）思考题：设,3254A求.100A(答案:101101100100252225525231)作业：习题册第五章第二节。§5.3Jordan标准形从上节我们看到，不是每个方阵都能相似于对角阵的，当矩阵不能相似于对角阵时，总是希望能找到形式尽可能简单一些的矩阵，使任何方阵都能相似于这种矩阵。这就是这一节将要介绍的Jordan矩阵。在此，我们只介绍Jordan矩阵和方阵相似于Jordan矩阵的一种求法。1Jordan矩阵：形如的r阶方阵称为一个r阶Jordan块。称主对角线子块为Jordan块)(iiJ的准对角矩阵为Jordan矩阵。定理1：在复数域上，每个n阶方阵A都相似于一个Jordan矩阵J，即存在可逆矩阵P，使得知道了什么是Jordan矩阵后，现在的问题是如何求Jordan标准形。Jordan标准形:当矩阵A与Jordan矩阵J相似时，就说J是A的Jordan标准形，并记为AJ.若矩阵能相似对角化，对角矩阵就是其Jordan标准形。rrJ111)()()()(2211mmJJJJ.)()()(22111mmJJJJAPP求n阶方阵A的Jordan矩阵J和可逆矩阵P的方法如下：(1)求A的特征多项式互异，从而i是A的ik重特征值，由此确定)(iiA阶数为ik.(2)由0)(XIAi求A的it个线性无关的特征向量由此确定)(iiA中有it个Jordan块)(iijJ.(3)若,iikt则在i对应的特征向量集合it,,,21中适当选取特征向量1i，求Jordan链,,,,21jinii确定Jordan块iiijtiJ,,2,1),(，特别地，长度为1的Jordan链即为一个特征向量，它对应一阶Jordan块).(i(4)以i对应的it条Jordan链为列构成矩阵iP，即iP位含ik个列的矩阵，而且则满足，即例1设,)()()(2121skskkAIs,,1,,,,21it,,,2,1,)()()()(21siApJJJPAPiiiiitiiiiiiispppP21,)()(11AssPJAAPAP.1AJAPP211367233A求变换矩阵P和Jordan矩阵AJ，使.1AJAPP解由0)2)(1(2AI得，,2,1321所以)(iiA是主对角元素为i的Jordan矩阵。由11是单根，得1)1(A，从0)(XIA，求得一个特征向量T1,2,11，当232时，由0)2(XIA，即解得只有一个线性无光的特征向量T1,1,12从而)2(2A只含一个Jordan块，即求解,111)2(IA取T0,2,1，得到一个广义特征向量,01121211121P,)2()1(21AAJA,0011347235X2012)2(2A.2121AJ