椭圆型方程的有限差分法

第2章椭圆型方程的有限差分法§1差分逼近的基本概念.,;0,],[,)2.1()(,)()1.1(,22为给定常数上的连续函数为其中边值问题考虑二阶常微分方程的qbafqbuaubxafqudxudLu区间剖分.],[./)(,,2,1,0],[称为步长，间距称为网格结点（节点）的一个网格剖分，于是我们得到区间等分，分点为分成将区间hxbaINabhNiihaxNbaii微分方程离散(差分方程）.][)3.1(),(])([12])([)()(2)()1.1(344222211点取值表示括号内函数在其中展式可得，由的解离散化，对充分光滑在节点现在将方程iiiiiiiixhOdxxudhdxxudhxuxuxuTaylorux)5.1(),(])([12)()4.1(),()()()()()(2)()1.1(3442211hOdxxudhuRuRxfxuxqhxuxuxuxiiiiiiiiii其中写成可将方程于是在.)6.1()()(][).(),()6.1(,2)1.1()(.)(211的截断误差为差分方程称，记式中的差分方程：，则得逼近方程若舍去的二阶无穷小量是足够小，当uRxfLuxffxqqfuqhuuuuLuRhuRhiiiiiiiiiiiiiihii.)()7.1(][)()(截断误差所引起的代替微分算子是用差分算子，截断误差LLuRLuxuLuRhiiihi..)2.1(),1.1()9.1(),8.1(.)()9.1(.,)8.1(,1,2,1,2,1,2,1)6.1(0211式此格式称为中心差分格的差分方程或差分格式为逼近称的近似于是它的解的线性代数方程组：于加上边值条件就得到关时成立，当差分方程iiNiiiiiiihixxxuuuuNifuqhuuuuLuNi.1,,,,)8.1(:121阶方程组因此它是个数的的个数等于网格内点方程注意NxxxN§2一维差分格式.,],,[,,,0)(],,[)2.2()(,)()1.2(,)(min1为给定常数其中考虑两点边值问题：baCfqrpxpbaCpbuaubxafqudxdurdxdupdxdLu积法直接差分化法、有限体两种方法：我们将介绍差分格式的直接差分化.,2,1,:],[,1110NixxxINbaIbxxxxaNiiiNi个小区间：分成将区间个节点：首先取.,,,,max,01211的集合表示内点和界点的集合表示网格内点为最大网格步长。用称的一个网格剖分，记于是得到区间bxaxIxxxIhhxxhINhNhiiiii.],[,),,2,1)((21,2121232101211对偶剖分的一个网格剖分，称为又构成点称为半整数点，则由节，的中点取相邻节点babxxxxxxaNixxxxxNNiiiiii点取值。表示括号内函数其中展式可得，由为此，对充分光滑的解离散化，在节点方程其次用差商代替微商将iiiiiiiiiiixhodxudhhdxduhhxuxuTaylorux][)3.2(),(][2][)()()1.2(2221111)4.2(),(][24][),(][24][)()()(33322132133221121hodxudphdxduphodxudphdxduphxuxuxpiiiiiiiiii)5.2(),(][24][)()()(33312211121hodxudphdxduphxuxuxpiiiiiii)6.2(),()][12)]([4)]([),(][12)][]([2])()()()()()([22)4.2()5.2(2331221233121211121112111hodxudphhdxdupdxdhhdxdupdxdhodxudphhdxdupdxduphhhxuxuxphxuxuxphhhhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii，得，并除以减由满足方程：边值问题的解知则由令)(,)6.2(),3.2(),(),(),(),(2121xuxffxqqxrrxppiiiiiiii)7.2(),()()]()([])()()()([2)(11112111211uRfxuqxuxuhhrhxuxuphxuxuphhxuLiiiiiiiiiiiiiiiiiiiih.)2.2(),1.2(),()8.2(),()][21][121)]([41)(()(22233221的差分方程便得逼近边值问题的截断误差，舍去为差分算子其中uRLhodxudrdxudpdxdupdxdhhuRihiiiiii)10.2(,,)9.2(,1,,1,][][2011112111211NiiiiiiiiiiiiiiiiiiihuuNifuquuhhrhuuphuuphhuL有限体积法恒律具有形式上的热量守内任一小区间程，则在方一根杆上的稳定温度场如果把它看作是分布在，考虑守恒型微分方程：],[],[)13.2()()()()2()1(xxbaxfuxqdxdupdxdLu)15.2()()()14.2(,)()(,)()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(，其中或dxduxpxWfdxqudxxWxWfdxqudxdxdxdupdxdxxxxxxxxxx把微分方程写成积分守恒型后，最高阶微商由二阶降到一阶，从而可减弱对函数光滑性的要求。,)()15.2()()14.2(,)()(],,[],[)14.2(2121212121212121)2()1(恒连续流量”化是不合适的。但“热进一步差分允许有间断点，由考虑到则对偶单元取特别于xWxpfdxqudxxWxWxxxxiiiixxxxiiii,)()(],[,)()()15.2(111iixxiiiidxxpxWuuxxxpxWdxdu积分，得再沿改写成故将)18.2(,2)17.2(.])(1[)16.2(,1112121211iiiixxxxiiiiiiiudhhqudxxpdxhahuuaWiiii又利用中矩形公式，得)21.2(.)(2)20.2(,)(21,)(21][)14.2()18.2(),16.2(21211111111iixxiiiiiiiiiiiiiiiiiidxxfhhhhudhhhuuahuua，即得守恒型差分方程代到将)22.2(),(),(),()21.2()19.2(),17.2(,2121iiiiiiiiixffxqqdxppafqp，从而和计算式光滑，则可用中矩形公及右端如果系数)23.2(),(21),(21,22121212111iiiiiiiiiiifffqqdppppa也可用梯形公式，此时§3矩形网的差分格式条件之一：在边界上满足下列边值，其边界为分段光滑曲线是平面上一有界区域，方程考虑GGyxyxfuPoisson)1.3(),(),,(321)1.3()(),()1.3()(),()1.3()(),(第三边值问题第二边值问题第一边值问题yxkunuyxnuyxu连续函数。都是及其中0),(),(),,(),,(),,(yxkyxyxyxyxf3.1五点差分格式,1,0,,1,0,.)(,2121222121jjhyiihxhhhhhyx直线：作两族与坐标轴平行的和轴方向的步长轴和取定沿.11,),(),().,(),(),(2121jjiihyyhxxyxyxjiyxjhihiiiijijiji或如果是相邻的和说两个节点或记为称为网点或节点，两族直线的交点否则称为非正则内点。就称为正则内点相邻点都属于的四个若内点的网点的集合是代替域就则令点为界点交点集合，并称如此的的与或表示网线以并称如此节点为内点内部的节点集合，表示所有属于以;,),(.,..),(hjihhhhjihjihGyxGGGGGyyxxGGyxG)2.3(,)2.3(),,(),(,),(,),()2.3(,]22[,,),(221,1,21,1,1hhhjiijjihijjihhhijijjiijjijiijjiijhyyxxjifuyxffyxfuyxufujiufhuuuhuuuuuuyxyx可简写成则差分方程表示网格函数，上的网函数。若以表示节点式中，则得用二阶中心差商代替方向分别为正则内点，沿现在假定)3.3(),(),(360),(12),(),(),(2),(6166444222211111hOxyxuhxyxuhxyxuhyxuyxuyxuTaylorjijijijijiji展式利用)4.3(),(),(360),(12),(),(),(2),(6266444222211122hOyyxuhyyxuhyyxuhyxuyxuyxujijijijijiji.)1.3(),()5.3(),(]),(),([121),(),()(2444224421的光滑解是方程其中的截断误差可得差分算子uhOhOyyxuhxyxuhyxuyxuuRjijijihjiijh故称为五点差分格式。其四个邻点上的值，及在中只出现由于差分方程),()2.3(jiu(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j))7.3()(41),(0)6.3(.4)(41)2.3(,1,1,,1,121,1,,1,121jijijijiijijjijijijiijuuuuuLaplaceffhuuuuuhhh则有方程若简化为则差分方程特别取正方形网格：)(),(12)),(),((121),()(),(12)),(),()((121),()(),(),((121),(),()4.3(),3.3(422422222222224224222222222222224442244211111hOyxyxuhhyyxfhxyxfhyxfhOyxyxuhhyyxuxyxuyhxhyxuhOyyxuhxyxuhyxuyxujijijijijijijijijijijijih两式相加，则得若将注).()],(),(2),()),(),(2),((2),(),(2),([1)(),(),(2),(),(21111111111112221222211224hOyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuhhhOhyxuyxuyxuyxyxujijijijijijijijijijixxjixxjixxji又).()),(),((121),()],(),(),(),(),(),(),(),(2),(4[121),(42222222111111111111122212221hOyyxfhxyxfhyxfyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuyxuhhhhyxujijijijijiji