(整理)随机过程课后习题

精品文档精品文档习题一1．设随机变量X服从几何分布，即：(),0,1,2,...kPXkpqk。求X的特征函数、EX及DX。其中01,1pqp是已知参数。2．（1）求参数为（p,b）的分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b的分布，关于参数p具有可加性。3．设X是一随机变量，F（x）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。（1）(),(0,)YaFXbab是常数；（2）Z=lnF()X，并求()kEZ（k为自然数）。4．设12,,...,nXXX相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。7．设12,,...,nXXX相互独立同服从正态分布2(,)Na，试求n维随机向量12,,...,nXXX的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。8．设X、Y相互独立，且（1）分别具有参数为(m,p)及(n,p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)pbpb的分布。求X+Y的分布。9．已知随机向量（X,Y）的概率密度函数为试求其特征函数。10．已知四维随机向量X,X,X,X1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为Bkl44=()，求(X,X,X,XE1234)。11．设X1，X2和X3相互独立，且都服从(0,1)N，试求随机变量112YXX和213YXX组成的随机向量(Y1,Y2)的特征函数。12．设X1，X2和X3相互独立，且都服从2(0,)N，试求：（1）随机向量(X1,X2,X3)的特征函数；1,0()0,0()ppbxbxexpxpx0,0bp1nkkX(1)()(1)jtjntjteeftne21()1ftt11niiXXn221[1()],1,1(,)40,xyxyxypxy其他精品文档精品文档（2）设112123123,,SXSXXSXXX，求随机向量(S1,S2,S3)的特征函数；（3）121YXX和232YXX组成的随机向量(Y1,Y2)的特征函数。13．设(X1,X2,X3)服从三维正太分布(0,)NB，其中协方差矩阵为33Bld=()，且2112233。试求222222123[()()()]EXXX。14．设12,,...,nXXX相互独立同服从正态分布2(0,)N。试求的期望。15．设X、Y是相互独立同分布的(0,1)N随机变量，讨论22UXY和的独立性。16．设X、Y是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论UXY和的独立性。17．设二维随机变量(,)XY的概率密度函数分别如下，试求(|)EXYy。（1）（2）18．设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0,1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。求（1）X与X+Y的联合概率密度函数；（2）D(X|Y=y)。19．设Xn，n=1，±1，±2，…是一列随机变量，且，其中K是正常数。试求：（1）当K1时，Xn几乎肯定收敛于0；（2）当K2时，Xn均方收敛于0；（3）当K3时，Xn不均方收敛于0。20．设,ppnnXaYb，试证明pnnXYab。习题二1．设X(i=1,2,3,…)是独立随机变量列，且有相同的两点分布，令(0)0Y，，试求：21exp()nniiYXXVYXVXY1,0,0(,)0,xyyexypxyy其他2,0(,)0,xeyxpxy其他0~1211nKKKnnXnnn1111221()niiYnX精品文档精品文档（1）随机过程{Y(n),n=0,1,2,…}的一个样本函数；（2）P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值；（3）P[Y(n)=k]；（4）均值函数；（5）协方差函数。2．设()cossinXtAtBt，其中A、B是相互独立且有相同的2(0,)N分布的随机变量，是常数，(,)t，试求：（1）X(t)的一个样本函数；（2）X(t)的一维概率密度函数；（3）均值函数和协方差函数。3．设随机过程。其中12,,...,nYYY，12,,...,nZZZ是相互独立的随机变量，且2,~(0,),1,2,...,kkkYZNkn。（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；（2）证明{X(t)}是正太过程。4．设{(),0}Wtt是参数2的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：（1）2()(),0XtWtt；（2）；（3）12()(),0XtcWctt；（4）()()(),01XtWttWtt。5．设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{(),0}Ytt是购买商品的顾客流，证明{(),0}Ytt是强度为p的Poisson流。6．在题5中，进一步设{(),0}Ztt是不购买商品的顾客流，试证明{(),0}Ytt与{(),0}Ztt是强度分别为p和(1)p的相互独立的Poisson流。7．设1{(),0}Ntt和2{(),0}Ntt分别是强度为1和2的独立Poisson流。试证明：（1）12{(),0}NNtt是强度为12的Poisson流；（2）在1{(),0}Ntt的任一到达时间间隔内，2{(),0}Ntt恰有k个时间发生的概率为8．设{(),0}Ntt是Poisson过程，n和nT分别是{(),0}Ntt的第n个时间的到达时间和点间距距离。试证明：（1）()(),1,2,...nnEnETn；（2）()(),1,2,...nnDnDTn。1()(cossin),0nkkkkkXtYtZtt1()(),0XttWtt121212(),0,1,2,...kkpk精品文档精品文档9．设某电报局接收的电报数()Nt组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；（2）下午第一个电报的到达时间的分布。10．设1{(),0}Ntt和2{(),0}Ntt分别是强度为1和2的独立Poisson过程，令12()()(),0XtNtNtt，求{(),0}Xtt的均值函数与相关函数。11．设{(),0}Ntt是强度为的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随即变量，且与{()Nt}独立，求[0,T]内事件数N的分布律。习题三1.证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。2.设,1,2,...nXn，是独立同分布的随机变量序列，均值为μ，方差为1，定义11nniiYXn。证明limnnX。3.研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。（1）()XtAtB，其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为21s、22s；（2）2()XtAtBtC，其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为21s、22s、23s；（3）{(),0}Ntt是Poisson过程；（4）{(),0}Wtt是Wiener过程.4.试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。5.求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。（1）()cos()Xtt，其中是常数，服从[0,2π]上的均匀分布；（2）1(),0XttWtt,其中()Wt是参数为1的Wiener过程；（3）2(),0XtWtt，其中()Wt是参数为2s的Wiener过程。6.均值函数为()5sinxmtt、相关函数为20.5()(,)3tsxRste的随机过程精品文档精品文档输入微分电路，该电路输出随机过程()()YtXt，试求()Yt的均值函数、相关函数、()Xt与()Yt的互相关函数。7.试求第3题中可积过程的如下积分：01()()tYtXudut，1()()tLtZtXuduL的均值函数和相关函数。8.设随机过程3()cos2tXtVet，其中V是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程0()()TYtXsds的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。9.设{(),0}Wtt是参数为2s的Wiener过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。（1）0()(),0tXtWsdst；（2）0()(),0tXtsWsdst；（3）()[()()],0tltXtWsWtdst。10.求一阶线性随机微分方程0()()0,0(0)(0)XtaXttaXX的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中0X是均值为0、方差为2s的正态随机变量。11.求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。(1)0()(),[,](0)()YtXttabaYaY其中()Xt是一已知的二阶均方连续过程,0Y是与()Xt独立的均值为m、方差为2s的随机变量。(2)0()()(),0(0)(0)YtaYtXttaYY其中()Xt是一已知的均值函数为()sinxmtt、相关函数为(,)(0)tsXRste的二阶均方连续过程。精品文档精品文档习题四1．设随机过程()cos()XtAt，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为222exp(),0()(0)20,0xxxpxx式中服从区间[0,2]上的均匀分布，且A、相互独立，试研究X是否为平稳过程。2．设X是一平稳过程，且满足()()XtXtT，称X为周期平稳过程，T为其周期，试证X的相关函数也是以T为周期的周期函数。3．设X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明()()()ZtXtYt也是平稳过程。4．设{(),}Xtt是n阶均方可微的平稳过程，证明(){(),}nXtt是平稳过程，且()(2)()(1)()nnnXxRR。5．设{X(n)}是一均值为0的平稳时间序列，证明：（1）()()()ZnAXnBXnm仍是一平稳时间序列；（2）若数列{A(n)}绝对收敛，即kkA，则()()kkZnAXnk仍是一平稳时间序列；（3）若{X(n)}是一白噪声，试求0()()kkZnAXnk的相关函数及其谱函数。6．设X(t)是雷达在t时的发射信号，遇目标返回接收机的微弱信号是1(),1aXna，1是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记噪声为N(t)，于是接收机接收到的全信号为：1()()()YtaXtNt，若X、Y是平稳相关的平稳过程，试求()XYR；进而，若()Nt的均值为0，且与()Xt相互独立，试求()XYR。7．设()sinXtt，其中是服从区间[0,2]上的均匀分布的随机变量，试证：（1）{,0,1,2,...}nXn是一平稳时间序列；精品文档精品文档（2）{(),}Xtt不是平稳过程。8．设{(),}Xtt为零均值的正交增量过程，2()()EXtXsts，试证()()(1)YtXtXt是一平稳过程。9．设{(),0}Xtt是平稳过程，均值0Xm，相关函数为()XR，若（1）(),0aXRea（2）,1()0,XR1-其他令01()()tYtXsdsT，T是固定的证书，分别计算{(),0}Ytt的