理论力学第二章分解

第二章质点组力学质点组三大定理、三大守恒律动量定理和动量守恒律角动量定理和角动量守恒律动能定理和机械能守恒律两个例子两体运动变质量物体的运动质心坐标系和实验室坐标系维里定理理论体系：质点→质点组→刚体本章内容：§2.1质点组一、质点组：由许多质点组成的系统，叫做质点组，也称质点系。二、内力与外力内、外力之分是相对的。内力：质点组内各个质点之间相互作用的力，就叫做内力。外力：质点组以外的物体作用于质点组的力就叫外力。)(iF)(eF三、质点系动力学研究方法方法1对质点系内每个质点建立运动微分方程，用计算机数值求解；方法2从整体上研究质点系存在哪些普遍规律（动量、角动量等）。明确质点系要从整体上进行研究的思想；四、学好本章的要点：掌握质心的概念和质点组相对质心系的运动特点。理解内力对三大定理的影响；五、质点组内力的特点1、内力成对出现。2、质点系所有内力之和为0。011)(ninijjijifFjiijff每对内力大小相等、方向相反，沿两质点连线方向。3、对任意参考点O，质点系内所有内力对O的力矩矢量和为0。011)(ninijjijiifrM4、质点系内所有内力做功之和一般不为0。)(jiijrdrdf)(jiijrrdfijijrdf所有内力对O的力矩矢量和jijijifrfrijjiijjijifrrfrfr)(0ijijfr一对内力对O的力矩矢量和ijijrdf只有内力做功之和为0。刚体jjiiijrdfrdf一对内力做功所有内力做功ninjijijrdf11irjrijrijfjifijO六、质心1、定义Mrmmrmrniiiniiniiic111它是诸质点位置的加权平均，质量相当于权重。连续体的质心MxdmxcMydmycMzdmzcMxmxniiic1Mymyniiic1Mzmzniiic1(1)分量式(2)对于质量均匀分布的连续体，其质心就是它的几何中心。2、几点说明xyzc1m2mimircrOMmrrcd(3)如果一个体系由几个部分组成，其质心位置？Mrmrvniiicc1Mrmraniiicc1对于质心参照系C-x’y’z’Mrmrniiic1对于惯性参照系O—xyz，ABACBCCAmBm(4)质心位矢、速度、加速度0''1Mrmrniiic0'ca0''1Mrmvniiic例题、求腰长为的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。aoxyxdxa解：质心必位于x轴上Mmxxcd/2022d12axxxaa32例题、求夹角为的匀质扇形盘面的质心位置。Mmyycd解：MrryddMrrR2202dcosdcosry因为)2/(2sin23R23R2sin34RxyOR§2.2质点系的动量定理和动量守恒定律一、质点系的动量iniiniiniiirmvmpp111iipmr质心系总动量的另一表达式CMv质心的速度MvmMrmrvniiiniiicc11二、质点系的动量定理=0dtpdpdtdnii1)(eFdtpd质点组总动量的变化与内力无关，内力只能改变组内各质点的运动情况而不能改变整体的动量。三、质心运动定理质心的加速度MamMrmraniiiniiicc11质心运动定理nieiiiniiicFFamaM1)()(1)(nieiniiiFF1)(1)(()ecMrFnieiF1)(0)(eFccvrc四、质点系的动量守恒律0)(eFCp0)(exFCpx)(eFdtpd()ecMaF例1．在光滑的水平面上，放有一个圆环，它的半径为a，质量为M。有一小虫，质量为m，在环上爬行，初始时系统静止，问小虫和圆环中心的运动轨迹如何？解：圆环和小虫组成质点系，系统所受的外力之和等于零，由质心运动定理，系统的质心加速度等于零，质心在空间固定不动。MmmaMmmaMCM0MmMaMmmaacm小虫和环心相对质心c的距离始终保持不变。所以小虫和环心的运动轨迹都是以质心c为圆心的圆形轨道，其半径分别为,MmMaMmmaCOMm解：建立如图所示的坐标系。以由滑块和尖劈构成的质点系为研究对象。因沿x方向不受力又10()NmyFmmg§2.3质点系的角动量定理和角动量守恒定律)(1iniiirmrJ一、质点系的角动量二、质点系对固定点O的角动量定理)()(eiiiiiFFrmeiiiiiiiiFrFrrmr）（ieiiiiiiiiiiFrFrrmr）（iiiiiiiiiiiirmrrmrrmrrmrdtd)(iiiirmrdtd)(ieiiFr)(eMdtJd=0质点组角动量的变化与内力无关，内力只能改变质点组内单个质点的角动量。三、角动量守恒律()0eeiiiMrFCJ()()0eeexiiziiyiMyfzfxxCJ四、质点组对质心的角动量定理)(')()(cieiiiiirmFFrm)''(iiirmrdtdiiiirmrdtd)''(ieiiFr')(''eMdtJd建立随质心平动的参照系C-x’y’z’,即质心坐标系iciiieiiiiiiiiiirmrFrFrrmr)'(''''）（0)'()'(iciiiciirrmrrm对于一般动点，大多不成立。0例题、在一光滑的水平面上有两个质量均为m的质点连接在一根刚性轻杆两端，杆长为L，整个体系处于静止状态。在t=0时刻，一个大小恒定的力F作用于其中一个质点上，方向始终在该水平面上并保持与轻杆垂直。试证明，当轻杆转过θ角度时杆的角速度为.2/FmL证明:设杆转过θ角度时杆的角速度为ω，质心位于杆的中心，在质心平动参照系中用对质心的角动量定理，有d11111d22222LmLLmLFLtddFtmL考虑初始条件，积分后可以得到FtmL即ddt又因为，所以ddFttmL积分后即可计算出时间为2tmLF因此当轻杆转过θ角度时杆的角速度为2FmL课本p92例题例题、半径为r,质量为M的水平匀质圆盘可绕通过其圆心的铅直轴转动。一个质量为m的甲虫，以相对圆盘速度为（为常数）的规律沿圆盘的边缘爬行。开始时，两者都静止，假设桌面光滑，试求甲虫爬行后，圆盘的角速度。vata解：该系统对竖直轴的力矩为0，故角动量守恒，即圆盘的角动量为甲虫的角动量为所以0LL甲虫圆盘212Lmrk圆盘()Lrmvrmvkrmatrk甲虫2(2)matMmr（以圆盘转动方向为z轴正向）作业：1、已知质点对固定点O的角动量守恒，试证明(1)质点做平面曲线运动；(2)质点运动中掠面速度守恒（即质点的位置矢量在单位时间内扫过的面积为常量）。2、一个人在圆形水平台上沿边缘走动，此台可绕其中心的铅垂轴转动，开始时两者都静止。试求人在平台上走完一周时的绝对角位移（假定人和平台的重量相等）。3、已知桌面水平光滑，起初m作半径为L的匀速圆周运动，速率v0，重物M静止，后放手，M下落。求：下落h(hL)时的重物M的速度。v0mLM§2.4动能定理与机械能守恒律二、对固定点的动能定理：——对惯性系iiirmT221一、质点组的动能三、机械能守恒律iiiieiiirdFrdFrmd)(2)21(一个质点iiiiiieiiiirdFrdFrmd)(2)21(质点组当所有外力和内力都是保守力时，力做功等于势能的减少。ieiiiiiiFdrFdrdV()0dTdVdTdVdTV()TVEconst四、柯尼希定理(质点组相对于固定点的动能=?相对于质心的动能)'icirrr''2121)'(2121T2i2i2i2iiciiiiciiciiirrmrmrmrrmrm2i2'2121iicrmrmT五、对质心的动能定理iiciiiiiiieiiiirdrmrdFrdFrmd')('')'21()(20''iiiciiicrmdrrdmriiiiiieiiiirdFrdFrmd'')'21()(20'iiicrmr')('''21)(2iciiiiieiiirdrmrdFrdFrmd建立随质心平动的参照系C-x’y’z’,即质心坐标系一个质点质点组2i22121iicrmrmT)(eFdtpd)(ecFrM)(eMdtJd)(''eMdtJdiiiiiieiiiirdFrdFrmd'')'21()(2iiiiiieiiiirdFrdFrmd)(2)21(对固定点对质心小结：课本p96例题AO0一水平匀质细管长为L，质量为M，能绕过管一端并与其固连的竖直轴转动，轴质量可忽略，轴承处光滑。管内放有一质量为m的小球，如图所示。初始时，管的角速度为，小球位于管的中点，小球相对管的速度为零。设小球与管壁间无摩擦，则系统在运动过程中哪些物理量是守恒的？0质量为m均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示，开始时，圆盘静止，且R=2r，则圆盘将如何运动？FFRrrF2FRFRr有关质心和内力的讨论1、利用质心系分解质点组的运动。根据质心运动定理易于确定质心的运动；在质心系中研究问题可以使问题简化，因此一般把质点组的运动分解为一质心为代表的“平动”和相对质心系的运动。2、内力的作用质点系的总动量和总角动量对时间的变化率与内力无关，但这并非表明内力对质点系的运动没有贡献，它改变了质点组内单个质点的动量和角动量。3、质点系内的质点是在外力和内力的共同作用下运动的，对质点系内的质点来说，内力与外力有等同的作用。4、质点系内的一对对内力造成了单个质点间动量与角动量的等量转移，内力对质点系的运动至关重要。§2.5两体问题一、两体问题的定义二、两体运动的分解三、两体的相对运动、折合质量四、开普勒第三定律的修正一、两体问题：不做任何近似，将两体问题转化为单体问题，使问题得到解决。两体运动：两个质点组成的系统，仅在内力相互作用下运动。(1)束缚态问题其特点是两体间始终保持有限距离。如电子绕核，行星绕太阳的运动。典型的两体问题有：(2)散射或碰撞问题两个粒子从相距无穷远处逐渐接近，经过相互作用后各自改变了运动状态又相互分离。(3)俘获和衰变问题过程前后粒子数从2变为1或由1变为2，粒子物理中这类问题是很多的。二、两体运动的分解1、质心的运动21)(21)(ieFRmm00R质心将按惯性运动2、两体相对于质心的运动两体相对质心的运动可以通过两体的相对运动求得。由质心定义2相对于1的位矢质心的运动两体相对于质心的运动(也即的变化规律)','2