导数中ATM找点法

学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数专题4导数中ATM找点法函数中存在零点，通常我们寻找这个零点，需要用到二分法来卡点，就是当bx0a时，一定有f(a)·f(b)0,这样说明y=f(x)在区间（a,b）内一定有一个零点.这是一个被神话的玩意，我们连隐零点都能跳过，至于找点，当然会有巧妙绕过的方案.如果你的切线和同构功底足够，根本无需害怕找点，因为研究导数，本来就是循序渐进，没必要一下子很突兀，让人觉得晦涩难懂.ATM找点，其实就是一种逆向思维来说明，脑海里多装几个函数图像，参变分离瞬间找到最值，一切迎刃而解.第一讲指对互找原理lnaea，lnbeb，这两个等式，瞬间去掉了函数法则，就是指数函数里面加入对数，则把指数法则给去掉了，对数函数里面加入指数，则把对数法则给去了，这是找点的基本法则.我们先说xeax的零点问题，参变分离可以得到xeax，我们可以根据一下函数图像来分析，图1图2图3图4当0a时，如图1，有仅有一个交点，我们需要找到那个比0小的点，显然axexfx)(当中，01)0(af，我们需要找到一个0x，使得0)(0xf，在这个过程中，一切都只能围绕着参数a做文章，2)(aeafa与1)1(1aeaf当中选取一个方案，显然选取)1(af更合适，更方便证明，01)1(1aeaf是显而易见的；当然))ln(1()ln())(ln(aaaaaaf也因为不能证明恒负而不选取；当0a时，显然无交点；学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数当ea0时，显然也无交点，如图2，此时只需要找到最小值大于零即可，0)ln1(ln)(lnaaaaaaf；当ea时，如图3，唯一交点(1)e，，故0)1(f；当ea时，如图4，易知有两个交点，一个位于(01)，，一个位于(1)，，此时，指找对原理充分体现，01)0(f，0)ln1(ln)(ln)(minaaaaaafxf，或者0)1(aef，我们要找一个肯定比aln更大的点，显然2lna是一个可以使用的，)ln21(ln)(ln2222aaaaaaaf，根据xxxhln)(函数图像可得，eaa2ln2，故0)(ln2af，下面我们完善一下书写过程.例1.讨论函数xfxeax的零点个数.解：因为()xfxea，0)(xf时，)0(lnaax，①0a时，1个零点.'0xfxea，xfxeax单调递增.且(0)10fa，11()10afea，所以()fx在1(0)a，上有一个零点；②0a时，无零点.0xfxe恒成立；③0ae时，无零点.minln1ln0fxfaaa；④ea时，有唯一零点1x；⑤ae时，2个零点.01)0(f，0)ln1(ln)(ln)(minaaaaaafxf，由2222ln2(ln)(1)(1)0afaaaae，故1(0ln)xa，，22(lnln)xaa，，使得0)(xf.总结：找点的关键还是放缩思想，所谓放缩，就是你知道了答案才能用的，就好比本题关键在于找到点)(ln2af，倘若不知道aaln2的最值，那么这个点就很难找到。之所以找点难度大，给人一种像雾像雨又像风的感觉，其实本质还是要提前预知结果，然后构造以参数为变量的函数，好比你账户有了钱，要去提款，只需要去找一台ATM提款机，这种预知结果来反过来找点的方法叫做ATM找点法。我们接着来分析axxln零点个数问题，xxaln，我们通过图像来进行分析，图5图6学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数图7图8构造axxxfln)(，可知01)(axxf时，)0(1aax，即aeaafxf1ln11ln)1()(max当ea1时，我们根据图5可知，无交点，此时我们只需要找到最大值，即01ln1ln11ln)1(aeaaf；当ea1时，如图6所示，有一个交点，此时0)(ef；当ea10时，如图7所示，易知有两个交点，一个位于区间(1)e，，一个位于区间()e，，故0)1(af，01)(aeef，我们不能选取一个无穷大的数，故此时指对互找的威力就显示出来，由于aaeaee11，故我们考虑0)41(1)11(11)(22111eaaeaaeaefaaa，这里用到了函数4)2()(22ehxexhx，也可以考虑211aa，即0)11(1)1ln(111ln211ln)1(22eaaaaaaaaaf，这里用到了eehxxxh1)1(ln)(，总之，找点的世界里，就是切线放缩，就是六大函数的最值选取；当0a时，有仅有一个零点1x；当0a时，如图8所示，有一个交点在(01)，之间，0)1(af，显然我们不能找点找到)0(f，这时候首先考虑指对互找，显然10ae，故0)1()(aaaeaaeaef；我们来完善这道题的书写过程.例2.讨论函数lnfxxax的零点个数.解：1'fxax，max11()ln1fxfaa；①1ae时，无零点.max11()ln10fxfaa；②1ae时，1个零点.max()()ln10fxfee；③当10ae时，2个零点.(1)0fa，01)(aeef(或max11()ln1ln10fxfeaa)，0)41(1)11(11)(22111eaaeaaeaefaaa，故1(1)xe，，12()axee，，使得0)(xf；学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数④当0a时，有仅有一个零点1x；⑤当0a时，1个零点.0)1(af，0)1()(aaaeaaeaef，故0(1)axe，，使得0)(0xf；我们接着来讨论xaxln的零点问题，参变分离得xxaln，作出图像如下：图9图10图11图12构造xaxxfln)(，可知01)(2xaxxf时，)0(aax，即)ln(1)ln()()(minaeaafxf当0a时，如图9所示，有一个交点位于(1+)，，0)1(af，这时候首先考虑指对互找，显然1ae，故0)11()(aaaeaeaaef，或者11ln110111aafaaaaa(利用xx11ln)；当0a时，显然只有一个零点1x；当01ae时，如图10所示，有两个交点，一个位于区间1(0)e，，一个位于区间1(1)e，，故0)1(af，01)1(aeef(或者0)ln(1)ln()(aeaaf)，显然我们不能选取)0(f，由于aa20，0)12(1)1)ln()(2(11)ln(2)(2eaaaaaaaf；当ea1时，如图11所示，有一个交点，此时0)1(ef；当ea1时，如图12，我们考虑01ln)ln()()(minaeafxf，无交点我们来完善这道题的书写过程.例3.讨论函数lnafxxx的零点个数.解：01)(2xaxxf时，)0(aax，即)ln(1)ln()()(minaeaafxf学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数①0a时，1个零点.10fa，0)11()(aaaeaeaaef；②0a时，1个零点(1)x；③1ae时，1个零点.1xe.min11()()ln10fxfee；④10ae时，2个零点.0)1(af，01)ln()(aaf，0)12(11)ln(2)(2eaaaaf；⑤1ae时，无零点.minln10fxfaa.找点问题，很多都可以用之前的三道例题的同构方式完成，我们来了解一下同构的几大形式：xeexxxxxxxxexhxxhxxhxhxhxhx)(1)()1(ln1)1(ln)(lnlnlnln)(（六大函数之间同构）xeaxhaxaxhxeaxeaxxexha)()()()()(（指数平移同构）xaxheaxaxhxeaxeaxexxha)()()(（指数平移同构）xnnnxhnxnxhxenxenxexxhn)()()(（指数次方同构）()()()lnlnlnnnhxhxnnnnhxxxxxxx（对数次方同构）nnxhnnxhxxxxxxxhnnlnlnln)()()(（对数次方同构）xnxxexexxxhxehennxehnnnlnlnln)()()(（对数乘法同构）例4.讨论以下找点问题与之同构母函数的关系（1）讨论2xfxemx的零点个数（2）讨论lnfxxmx的零点个数（3）讨论xafxxe的零点个数；第二讲高考中的找点例5.（2018•新课标Ⅱ）已知函数2()xfxeax．（1）若1a，证明：当0x时，()1fx；（2）若()fx在(0)，只有一个零点，求a．学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数例6．（2017•新课标Ⅱ）已知函数2()lnfxaxaxxx，且()0fx．（1）求a；（2）证明：()fx存在唯一的极大值点0x，且220()2efx．例7．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)xxfxaeaex．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围．例8．（2016•新课标Ⅲ）设函数()ln1fxxx．（1）讨论()fx的单调性；（2）证明当(1)x，时，11lnxxx；（3）设1c，证明当(01)x，时，1(1)xcxc．例9.（2016•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)(1)xfxxeax．（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）若()fx有两个零点，求a的取值范围．第三讲找点新题型——极值点与零点比大小秒杀秘籍：构造成ex0－x1与1比大小或者lnx0－lnx1与0比大小在一些新题的压轴问，经常要证明10xx或者10xx，其中0)(0xf，0)(1xf，这种类型可以通过分离函数得到)(00xmex，)(11xnex，构造)()(1010xnxmexx与1比大小，或者)(ln00xmx，)(ln11xnx，构造)()(ln1010xnxmxx与0比大小；例10.（2019•滨州期末）已知函数()(1ln)xfxemx，其中0m，()fx为()fx的导函数．设()()xfxhxe，且5()2hx恒成立．（1）求m的取值范围；（2）设函数()fx的零点为0x，函数()fx的极小值点为1x，求证：01xx．例11.（2020•茂名一模）设函数()lnxgxxae，()xhxaxe，10ae，（1）求()gx在1x处的切线的一般式方程；（2）请判断()gx与()hx的图象有几个交点？学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数（3）设0x为函数()()gxhx的极值点，1x为()gx与()hx的图象一个交点的横坐标，且10xx，证明：0132xx．例12.（2019•湖北期末）已知函数()ln(1)xfxaxxe，其中a为非零常数．（1）讨论()fx的极值点个数，并说明理由；（2）若ae，()i证明：()fx在区间(1)，内有且仅有1个零点；()ii设0x为()fx的极值点，1x为()fx的零点且11x，求证：0012lnxxx．秒杀秘籍：两不同函数零点比大小0)()()(