函数图像的对称性问题(01)

函数图像的对称性问题函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面，现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。1.函数自身的对称性探究（1）奇函数的图象关于原点成中心对称；偶函数的图象关于y轴对称.（2）函数)0()(2acbxaxxf（a≠0）的图象关于直线abx2对称.（3）正弦函数y=sinx（x∈R）的图象关于直线x=k+2对称：关于点（k,0）中心对称（k∈Z）余弦函数y=cosx(x∈R)的图象关于直线x=k对称：关于点（k,02）中心对称（k∈Z）.正切函数y=tanx(xk+2)的图象关于点）（0,2k中心对称（k∈Z）.典例1：函数)252sin(xy的图像的一条对称轴的方程是（）45.8.4.2.xDxCxBxA解：函数)252sin(xy的图像的所有对称轴的方程是2252kx，所以2kx，显然取1k时的对称轴方程是2x，故选（A）。(4)函数)(xfy的图象关于直线2abx对称()(b)()()faxfxfabxfx证明：对任意x∈R，都有f（a＋x）=f（b－x）时，有点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b－x））存在关系：22baxbxa，f（a＋x）=f（b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b－x））关于直线成轴对称，又由x的任意性可知：函数y=f（x）关于直线成轴对称。反之亦然。特例：函数)(xfy的图象关于直线ax对称)()2()()(xfxafxafxaf函数)(xfy的图像关于y轴对称)()(xfxf【偶函数是4的特例】一般结论【函数()yfx的图象关于直线2abx对称()(b)famxfmx()()fabmxfmx】典例2：二次函数f（x）满足f（2＋x）=f（2－x），又f（2）=1，f（0）=3，若在[0，m]有最小值1，最大值3，则的取值范围（）（A）0＜m≤2（B）m≥2（C）m＞0（D）2≤m≤4解：由函数的轴对称性可知：二次函数f（x）关于直线x=2对称，又f（2）=1，f（0）=3，∴f（x）在[0，2]上是减函数，∴f（x）在[2，+∞）上增函数，又由轴对称可知：f（2+2）=f（2－2）即f（4）=f（0）∵f（x）在[0，m]上有最小值1，最小值3，∴2≤m≤4选（D）典例3：函数f（x）对一切实数x都满足)43()41(xfxf，并且f（x）=0有3个实根，求这3个实根之和。解：由)43()41(xfxf可知：函数f（x）关于直线21x对称，又∵f（x）=0有3个实根，∴f（x）=0必有一根是211x，且其余两根x2、x3关于21x对称，∴121232xx∴23321xxx(5)函数)(xfy的图像关于点A（a，b）对称bxafxf2)2()(【bxafxaf2)()(】证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a,b)对称，充分性得征。特例：函数)(xfy的图像关于原点O对称0)()(xfxf【奇函数是5的特例】若)2()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,(a对称典例4：已知f（x）+f（2－x）+2=0对任意实数x恒成立，则函数f（x）图象关于对称解：由f（x）+f（2－x）+2=0得：f（x）+1=－[f（2－x）+1]令φ（x）=f（x）+1，则φ（2－x）=f（2－x）+1∴φ（x）=－φ（2－x）∴φ（x）关于点（1，0）对称，又f（x）=φ（x）－1故由平移知识可得：f（x）关于点（1，－1）对称。典例5：【可不看】已知函数1)(axxaxf的反函数)(1xf的图象的对称中心是（－1，3），则实数a等于（）（A）2（B）3（C）－2（D）－4解：1)1()(1xaxaxf∵)(1xf关于点（－1，3）对称，∴)(1xf=6－1f（－1－x）即：11)1)(1(611)1)(1(xaxaxaxa，也即：（2a－4）x=0由等式的恒等性可知：2a－4=0∴a=2选（A）典例6：设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴的正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1（1）写出曲线C1方程；（2）求证：曲线C与C1关于点)2,2(stA对称。解（1）：C1的方程是：stxtxy)()(3证（2）：曲线C关于点)2,2(stA的对称曲线方程是：stxtxxtxtsxtxtsy)()()]()[()]22()22[(22333即为曲线C1∴曲线C与曲线C1关于点)2,2(stA对称。高考试题欣赏【2016全国卷2文】12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（）A．0B．mC．2mD．4m解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故xi=×2=m，故选：B【2016全国卷2理】12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）=（）A．0B．mC．2mD．4m解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]=m．故选B．2.不同函数之间的对称性探究（1）y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称.（2）y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（3）y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（4）y=f(x)的图象与函数y=)(1xf的图象关于直线y=x对称；【知道】（5）函数)(xfy与)2(xafy的图像关于直线ax成轴对称。证明设点),(00yxP是)(xfy图像上任意一点，则)(00xfy。点),(00yxP关于直线ax的对称点为),2('00yxaP，显然点),2('00yxaP在)2(xafy的图像上。同理可证：)2(xafy图像上关于直线ax对称的点也在)(xfy图像上。推论1.函数)(xfy与)(xfy的图像关于直线y轴对称。2.两个函数y=()y()faxfax与的图象关于直线x=0对称.3.两个函数y=()y(b)faxfx与的图象关于直线2abx对称.一般【函数)()(mxbfyamxfy与函数的图象关于直线mbax2对称】（6）函数)2(2)(xafbyxfy与的图像关于点),(baA成中心对称。证明：设点)(),(00xfyyxP是图像上任一点，则)(00xfy。点),(00yxP关于点),(baA的对称点为)2,2('00ybxaP，此点坐标满足)2(2xafby，显然点)2,2('00ybxaP在)2(2xafby的图像上。同理可证：)2(2xafby图像上关于点),(baA对称的点也在)(xfy的图像上。特例：函数)(xfy与)(xfy的图像关于原点成中心对称。典例7：将函数h(x)＝2sin(2x＋π4)的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象()A．关于直线x＝0对称B．关于直线x＝1对称C．关于(1,0)点对称D．关于(0,1)点对称解：D【依题意，将h(x)＝2sin(2x＋π4)的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位后得y＝2sin[2(x－π4)＋π4]＋2，即f(x)＝2sin(2x－π4)＋2的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称】【可不看】（7）①函数)(xfy与)(yafxa的图像关于直线ayx成轴对称。②函数)(xfy与)(ayfax的图像关于直线ayx成轴对称。3.函数图像对称性与函数周期性关系①若函数)(xfy的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（ba），则)(xfy是周期函数，且ba2是其一个周期。【ba2=KT,KZ,T为函数的周期】②若函数)(xfy的图像同时关于直线bxax和直线成轴对称（ba），则)(xfy是周期函数，且ba2是其一个周期。【ba2=KT,KZ,T为函数的周期】③若函数)(xfy的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（ba），则)(xfy是周期函数，且ba4是其一个周期。。【ba4=（2K+1）T,KZ,T为函数的周期】简单地说，就是一个函数有两个对称中心，或者两个对称轴，或者一个对称中心一个对称轴，则函数具有周期性。以下证明②③，①的证明留给读者。②证明因为函数)(xfy的图像同时关于直线bxax和直线成轴对称（ba）所以f(x)=f(2a-x)（*）和f(b+x)=f(b-x)（**），∵f(x)=f(2a-x)=f{b-［b-(2a-x)］}=f［（2b-2a）+x］∴y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。③证明，因为函数)(xfy的图像关于点A（a，c）成中心对称。所以xbcxafxf2,2)2()(用代x得：(*)2)2(2)2(cxbafxbf又因为函数)(xfy的图像关于直线bx成轴对称。所以)()2(xfxbf代入（*）得：xxbaxbafcxf代用)(2(**),)(22)(得xbafcxbaf)(42)(2代入（**）得：)(,)(4)(xfyxbafxf故是周期函数，且ba4是其一个周期。典例8：定义在R上的非常数函数满足：)10(xf为偶函数，且)5()5(xfxf，则)(xf一定是（）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0，即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)典例10：①设)(xf是定义在R上的偶函数，且)1()1(xfxf，当01x时，xxf21)(，则)6.8(f_________