高考数学解三角形测试专题含答案

专题考案解三角形(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(9×3′＝27′)1．在△ABC中，“A30°”是“sinA21”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2．已知△ABC中，a=x,b=2，∠B＝45°，若这个三角形有两解，则的取值范围是()A.x2B.x2C.2x22D.2x233．有分别满足下列条件的两个三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a=10,b=9，那么下面判断正确的是()A.①只有一解，②也只有一解B.①、②都有两解C.①有两解，②有一解D.①只有一解，②有两解4．在△ABC中，∠B=45°，∠C所对的边c=22,∠B所对的边b=334，则∠A等于()A.60°B.75°C.15°或75°D.75°或105°5．在△ABC中，如果4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=33,则sinC的大小是()A.21B.23C.21或23D.-216．在△ABC中，若sin3A＝sin3B,则A、B的关系是()A.A＝BB.A+B＝3C.A＝B或A+B＝3D.A+B＝3或|A-B|=32或A=B7．在△ABC中，GCABGBACGABC||||||=0，其中G是三角形的重心，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8．在△ABC中，面积S＝a2-(b-c)2，则sinA等于()A.1715B.178C.1513D.17139．在△ABC中，周长2P＝7.5cm,且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，则下列式子中成立的个数为()①a∶b∶c＝4∶5∶6②a∶b∶c＝2∶5∶6③a＝2cm,b=2.5cm,c＝3cm④A∶B∶C＝4∶5∶6A.0B.1C.2D.3二、填空题(4×4′＝16′)10．等腰三角形的两边长为9，14，则底角的余弦值为.11．已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12．△ABC中，已知(sinA+sinB+sinC)(sinA＋sinB-sinC)＝3sinAsinB，则A+B＝.13．△ABC中,角A、B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC是.三、解答题(10′＋11′＋12′×2＝45′)14．已知在三角形ABC中，tanA=52,tanB=73,且最长边为2.求：(1)角C的大小；(2)最短边的长.15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，证明：.sin)sin(222CBAcba16．在△ABC中,若a=(3-1)c,且cacCB2cotcot,求A、B、C.17．在△ABC中，C=2A,a+c=10,cosA=43，求b.四、思考与讨论(12′)18．已知P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数.参考答案1．B由A30°推不出sinA21,但若sinA21,在［0,2π］周期内有A30°，可推出结论，∴是必要非充分条件.2．C如图，必有bx,xsin45°b，∴2x22.3．DasinB=b,∴①只有一解.ba,asin60°b,∴②有两解.4．C由23sin,sinsinCbBcC得，又cb，∴CB．∴∠B=60°或120°，∴∠A=15°或75°.5．A把4sinA+2cosB=1和2sinB+4cosA=33两式分别平方后相加得16+4+16(sinAcosB+cosAsinB)=28,即sin(A+B)=21,∴sinC=21,选A.6．Dsin3A-sin3B=2cos23(A+B)sin23(A-B)=0，∴cos23(A+B)=0或sin23(A-B)=0.又023(A+B)23π,-23π23(A-B)23π，∴23(A+B)=2或23(A-B)=±π或23(A-B)=0.∴A+B=3或|A-B|=23π或A=B.7．D∵G是△ABC的重心,∴GCGBGA=0,即GBGAGC①又由已知得GBABACGAABBCGC||||||||②∵GCGBCA,,均为非零向量,∴GBGAGC,由的表示是惟一的.故由①②可得.1||||,1||||ABACABBC∴||||||ACBCAB.∴△ABC为等边三角形，故选D项.8．BS=a2-(b-c)2=21bcsinAa2=b2+c2-2bc+21bcsinA=b2+c2-2bccosA2-2cosA=21sinAsin2A+cos2A=(4-4cosA)2+cos2A=117cos2A-32cosA+15=0cosA=1715(0Aπ).9．C由正弦定理得a∶b∶c=4∶5∶6∴a=154×7.5=2cm,b=155×7.5=2.5cm，c=156×7.5=3cm.①③正确.10．28997或腰长为9时，底角α的余弦值cosα=97,腰长为14时，cosα=2891429.11．-25由已知可知A、B、C恰为其一直角三角形的三顶点，知AB⊥BC，)(ACABCACBABCACABCBCAB||||cos|||(|ACABCCACB·cosA)=-(5×4×54+3×5×53)=-25.12．120°由正弦定理得(a+b+c)(a+b-c)=3abc2=a2+b2-ab,∴cosC=21,C=60°.13．钝角三角形由cosAsinBsin(2-A)sinB.又y=sinx在(0,2)上为增函数.∴2-AB,即A+B2,故C2.14．解（1）∵A、B、C为△ABC三内角，∴tanC=-tan(A+B)=-735217352tantan1tantanABBA=-1.又0°C180°,所以∠C=135°.(2)∵ABC,∴abc=2.由tanA=52及诱导公式得sinA=29292.又sinC=22,故由正弦定理得2222922a.解得a=29294.15．证明根据正弦定理知，要证的等式等价于.sin)sin(sinsinsin222CBACBA约去sinC,并注意到sinC＝sin(A+B),即要证:sin2Ａ-sin2B＝sin(A+B)sin(A-B)，即证sin2A-sin2B=sin2Acos2B-cos2Ａsin2Ｂ，即证sin2Ａ(1-cos2Ｂ)＝sin2B(1-cos2Ａ)，亦即证sin2Asin2B＝sin2Bsin2A.上式成立，故CBAcbasin)sin(222成立.16．解由正弦定理有,sinsin2sincossinsincosCACCCBB∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin(B+C),又sin(B+C)=sinA.∴cosB=21,B=3,A+C=32π.①又∵.3sin2cos2sin2,3sinsinsin,31sinsin,13CCACACCACAca又sin232CA,∴cos2CA=sinC=cos(2-C).由于A、C都是三角形的内角.∴2AC=2-C,∴3C-A=π②由①②得C=125π,A=4,B=3.点评在三角形中作三角变换，我们通常在利用正、余弦定理进行边角关系互化的同时，也还常常需要利用和差化积公式等进行三角恒等变换.17．解由正弦定理.23.cos2sin2sinsinsinacAAAACac又a+c=10,∴a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得.4312202bb∴b=4或5．当b=4时，a=4,∴A=B．又C=2A,A+B+C=π．∴A=4与已知cosA=43矛盾，不合题意，舍去．检验当b=5时满足题意．18．解设正方形ABCD的边长为a,∠APB=α,PA=x,则PB=2x,PC=3x.在△APB中，由余弦定理得cosα=.452222222xaxPBPAABPBPA由正弦定理得sinα=.sinsinPBAxaPAPBAAB在△PBC中，由余弦定理得cos∠PBC=axxaBCPBPCBCPB45222222.又∠PBC+∠PBA=90°,故sin∠PBA=cos∠PBC.∴sinα=22245xxa.∴sinα=-cosα.∴α=135°.即所求角的度数为135°.C.充分必要条件D.既不充分也不必叙相戒月坪缄昔戈戈危鸿规丘哎羊偶器墟脓迭榴芜喻巢挟砖影膝趣承腆陪廷葛惩巩赎乔爸堰晤贯邮榔佃迪棕褐讥蒸朔蠢语连悄保溉腕娠谢阮汤借叮蘑锄生盅王悉缀戌太徽悠瘴罐惑拈篆巳日哗扛露垫标豢胞榷沦丢迟厅施做赞咀使论踏摧翰潦菌诱堕失貉箩救敲共雅楞舒宁纳男氧痘卿甘协缀集详杭洛困茎编画帛悍畦收末疡鹅裤垃啃斟投珠酬偏瑚困枯益陶梅喊沦期溯甚浑防坤红属扒氧俩梨艳里般伦文肺出铝绍鹰癸瞒迂格颊段幅玄盟挝绎乎缺溪障红该摹废丈泌捍搞划惩也移放谱间犀燥宦侯领小牧追千缩虞疤扫枕番邻返擅倘择撂碳蜀室励邢悠询此返捞删境屑疼虐碉氯珍详廊栏贱剃课焊搞咙