三角函数实际应用题-答案解析版本

1三角函数的实际应用知识：直角三角形中其他重要概念⑴仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hil，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则tanhil．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．⑶方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)北i=h:l图(2)lh图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2.解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位3.0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°sin02122231cos12322210tan03313-cot-313302典型例题类型一.所求线段由两段和差组成。例题1.（2018成都）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长.（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，sin370.6，cos370.80，tan370.75）.解：由题知：70ACD，37BCD，80AC.在RtACD中，cosCDACDAC，0.3480CD∴，27.2CD∴（海里）.在RtBCD中，tanBDBCDCD，0.7527.2BD∴，20.4BD∴（海里）.答：还需要航行的距离BD的长为20.4海里.变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道M处测得某居民楼顶的仰角∠ABC的度数是20°，仪器BM的高是0.8m，点M到护栏的距离MD的长为11m，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离ED的长（结果保留到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）3解：由题意：CD＝BM＝0.8m，BC＝MD＝11m，在Rt△ECB中，EC＝BC•tan20°＝11×0.36≈3.96（m），∴ED＝CD+EC＝3.96+0.8≈4.8（m），答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离ED的长4.8m2.如图，登山缆车从点A出发，途径点B后到达终点C。其中AB段与BC段的运行路程为m200，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30，BC段的运行路线与水平面的夹角为42，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离。（参考数据：67.042sin，74.042cos，90.042tan）答案：234米3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30，测得大楼顶端A的仰角为45（点ECB,,在同一水平直线上）。已知mAB80，mDE10，求障碍物CB,两点间的距离。（结果精确到m1.0，参考数据：1.73231.4142，）解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在直角△ADF中，∵AF＝80m﹣10m＝70m，∠ADF＝45°，4∴DF＝AF＝70m．在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．类型二：辅助线技巧例题1（2017成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求CB,两地的距离。解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4×=2（千米），BD=AB•sin∠BAD=4×=2（千米），∵△BCD中，∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=2（千米），∴BC=BD=2（千米）．答：B，C两地的距离是2千米．5变式1如图，南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至海面B处时，测得该岛位于正北方向3120海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45方向上，A位于B的北偏西30的方向上，求A、C之间的距离。解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°．设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝x，又∵BC＝20（1+），CD+BD＝BC，即x+x＝20（1+），解得：x＝20，∴AC＝x＝20（海里）．答：A、C之间的距离为20海里．62.（2017武侯二诊）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为m200，45CAB，30CBA，求隧道AB的长。解：过点C作CD⊥AB于D，∵BC＝800m，∠CBA＝30°，∴在Rt△BCD中，CD＝BC＝400m，BD＝BC•cos30°＝800×＝400≈693（m），∵∠CAB＝54°，在Rt△ACD中，AD＝≈≈231（m），∴AB＝AD+BD≈693+231≈924（m）．答：隧道AB的长为924m．3.渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15方向，求此时灯塔M与渔船的距离.北东北1560MBABM=277例题2（锦江二诊）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长CE=4+3变式1如图，某中学在主楼的顶部D和大门A的上方之间挂一些彩旗，经测量，大门距主楼的距离BC＝90m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面BE＝1.5m．求：学校主楼CD的高度（结果精确到0.01m）解：（1）作EF∥BC交DC于点F，∵BC＝45m，∴EF＝45m，∵∠DEF＝30°，∠DFE＝90°，∴tan30°＝，∴，解得，DE＝15，∵EB＝m，∴DC＝15＝16m，8即学校主楼的高度是16m；（2）作AG∥BC交DC于点G，∵BC＝AG＝45m，AB＝m，DC＝16m，∴GC＝AB＝3m，∴DG＝16﹣3＝13m，∵∠AGD＝90°，∴AD＝＝2m，即大门上方A与主楼顶部D的距离是2m．2如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°＝＝，∴CM＝15cm，在直角三角形ABF中，sin60°＝，∴＝，解得：BF＝20，9又∠ADC＝∠BMD＝∠BFD＝90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD＝BF，∴CE＝CM+MD+DE＝CM+BF+ED＝15+20+2≈51.6cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．3如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11米，CD＝2米，∴在直角△CPD中，DP＝DC•cos30°＝m，PC＝CD÷（sin30°）＝4米，∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，∴△PDC∽△PBO，∴∴PB＝＝＝11米，∴BC＝PB﹣PC＝（11﹣4）米．10类型三.双直角三角形与方程思想例题1.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点CB,,测得30,45，量得BC长为100米，求河的宽度（结果保留根号）。解答:503+50变式1如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为多少米？（结果保留整数，测角仪忽略不计，2≈1.414，3≈1.732）解：如图，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝100m，设AD＝xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝ADCD，∴CD＝AD＝x，∴BD＝BC+CD＝x+100，……4分在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝ADBD，∴x＝33（x+100），∴x＝50（3+1≈137即山高AD为137米．ABCD30°45°112.如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：2=1.414，3=1.732）3.为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）12解：设AE＝x，在Rt△ACE中，CE＝＝1.1x，在Rt△AFE中，FE＝＝0.55x，由题意得，CF＝CE﹣FE＝1.1x﹣0.55x＝12，解得：x＝，故AB＝AE+BE＝+1.5≈23米．答：这个电视塔的高度AB为23米．例题2（2014成都）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。备用数据：7.13，4.1230度，9米变式1.如图：某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30、45，在B地测得C地的仰角为60，已知C地比A地高13m200，电缆BC要多少米？（结果保留根号）2.数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH＝30°，∠DBH＝60°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）解：延长CD交AH于点E，设DE＝x，则BE＝x，∵∠A＝30