北师大版_平面向量的坐标运算

§4平面向量的坐标我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。探索1:以O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？oPxya调用几何画板4321-1-2-3-2246ij），（23P32(3,2)OPijO调用几何画板3i2j4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy向量的坐标表示O向量P（x，y）一一对应OP调用几何画板xiyj在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?探索2:oxya调用几何画板在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?探索2:Aoxyaa可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.解决方案:调用几何画板在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方向相同的单位向量i,j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj.定义：2、把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,记为：a=(x,y),称其为向量的坐标表示.4、其中x、y叫做a在X、Y轴上的坐标.单位向量i=（1，0），j=（0，1）1、把a=xi+yj称为向量基底形式.3、a=xi+yj=(x,y)调用几何画板=(0,0)0思考1：什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？向量的起点为原点时.一一对应yx在同一直角坐标系内画出下列向量.解：练一练：..-1112思考2：相等向量的坐标有什么关系？提示：相等,与起点的位置无关.1AB1xyA1B1(x1,y1)(x2,y2)..(1)任一平面向量都有唯一的坐标.(2)当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)相等的向量有相等的坐标.说明：21212211),(),,(yyxxbayxbyxa则若思考3：全体有序实数对与坐标平面内的所有向量是否一一对应？因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.43,60,xOA　　例１　　已知O是坐标原点，点A在第一象限OA求向量OA的坐标。调用几何画板OxyA)6,32(OA平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？探索：（1）已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，求a+b,a–b.（2）已知a=(x1,y1)和实数，求a的坐标.如何计算？调用几何画板平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知a，b，求a+b，a-b．),(11yx),(22yx解：a+b=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即),(2121yyxxa+b同理可得a-b),(2121yyxx两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）3、已知．求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：OAOBAB),(),(1122yxyx),(1212yyxx一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．),(yxa2、),()(yxjyixjyixa(2,1),(3,4),,,34abababab练习，已知求的坐标。(2,1)(3,4)15(2,1)(3,4)53343(2,1)4(3,4)619ababab解：（，）（，）（，）平面向量共线的坐标表示01221yxyx）（，使得存在唯一的实数共线与非零向量向量0aabab),(),,(2211yxbyxa设ab由),(),(1122yxyx1212yyxx得消去0//),(),(1221221,1yxyxbayxbyxa设记忆：两向量平行等价于它们的坐标交叉相乘的差为0.,//),2,(),4,(xbaxxbxa求例题：已知20或x