激光原理与技术5

激光原理与技术西安电子科技大学技术物理学院刘继芳第二章开式光腔和高斯光束1.抑制模式数目§2.1光腔的作用和损耗描述开腔是闭腔去掉侧面，因而有：一、开式光腔的作用π2ΔΩνν⋅⋅⋅=VnM横纵MM⋅⋅=2腔长L镜面积S§2.1光腔的作用和损耗描述2.提供正反馈M1、M2两个反射镜提供正反馈对少数振荡模—激光模式提供正反馈，使其产生自激振荡3.输出激光—产生损耗M1、M2提供正反馈的同时，也一定提供损耗™反射率R1=1，R21输出激光™其他损耗：模式不同，损耗不同™人为控制损耗特性，可进一步对工作模式进行选择，称为选模技术§2.1光腔的作用和损耗描述4.滤波光腔是一个光频滤波器5.决定光束特性腔有稳定腔和非稳定腔之分Laser工作的稳定性由腔的稳定性决定νΔνq=c/2L腔决定模式，模式决定光束M2因子因此腔决定光束特性6.决定激光稳定性§2.1光腔的作用和损耗描述1.损耗的物理原因¾非轴向光束的几何偏折逸出腔外二、光腔损耗特性的描述¾输出镜M2的反射率R21，有透射损耗(必须有)¾M1、M2镜，腔内介质的不理想引起的吸收、散射损耗¾M1、M2镜尺寸有限产生的衍射损耗§2.1光腔的作用和损耗描述2.损耗的描述方法称为平均单轮损耗因子初始光强为I0，由于损耗，传输一个来回变为I1M1(出发)→M2(反射)→M1(反射)→光束的传播I0与I1的关系总可以写成：(1)平均单轮损耗因子δ②③①M1M2I1δ201e−=II10ln21II≡δ∴¾∵可能存在多种损耗δi，∴δ=Σδi¾有时，∴δ很小，故重新定义(百分比)损耗0102III−=′δδ2e1−−=当δ很小时：δδ21e2−=−δ=δ′④I0两种描述一致§2.1光腔的作用和损耗描述光束在腔内m次往返后变为根据：取t=0，I=I0，光束在腔内往返m次的时间为t，则有：(2)腔内光子平均寿命τRδ201e−=II∴称为光腔的时间常数mmII⋅−=δ20ecLtm/2=)(tIIm=tLcIδ−=e0RtIτ/0e−≡δτcLR≡当t=τR时，e)(0ItI=Lct2=tLcI220e⋅−=δ§2.1光腔的作用和损耗描述故：t—t+dt逸出谐振腔的光子数∴现在考察光子的平均寿命可见：∵chNcI⋅⋅==νρNI∝RtNNτ/0e−=tNtNRtRde)(d/0ττ−−=∴∫∞−=00)d(1NtNt∫∞−⋅=0/00de1tNtNRtRττRτ=光腔的时间常数等于光子平均寿命当t=τR时，e)(0NtN=(其寿命为t)§2.1光腔的作用和损耗描述沿用电子学中的定义：由腔的损耗决定！δ↓，Q↑(3)光腔品质因子Q∴)()(π2损耗的功率时刻储存的能量PtEQν=∵cIρ=VEρ=VctItE)()(=RtEτ/0e−=VcIE00=ttEtPd)(d)(−=∵∴RQντπ2=δνcLπ2=Lc/δω=Rωτ=VcI=VcIRtτ/0e−=RtREττ/0e−=RPtEτ=)()(损耗的功率时刻储存的能量§2.1光腔的作用和损耗描述由腔内光强：Δνc↓、δ↓，Q↑(4)光腔本征线宽Δνc∴∵∵∴RtItIτ/0e)(−=)()()(tEtEtI∗=ttREEωτi2/0ee−−=)(i2/1)(00ωωτω−+=REE)()()(ωωω∗=EEI20220)()2/1(ωωτ−+=RE∫∞=00d)()(),(νννννIIg202)()2/1(/1ωωττ−+=RRRcτνπ21Δ=cRντπΔ21=RQντπ2=Lcπ2δ=cννπΔ21π2=cννΔ=δνcLπ2=§2.1光腔的作用和损耗描述∴M1、M2的反射率分别为r1和r2再考虑传播的固有损耗∴三、损耗计算举例1.反射损耗δr2101rrII=rIδ20e−=21ln21rrr−=δ211ln21rr=)1)(1(1ln2121TT−−=022101eαLrrII−=Lrr0211ln21αδ+=②①M1(r1)M2(r2)I1I0δ20e−≡I§2.1光腔的作用和损耗描述经M2反射，由于衍射M1处光斑增大如果r1=1，r2=1，α0=0，θ=0，损耗并不等于0。反射镜尺寸有限，衍射存在！假设光强均匀分布：I0，πa22.衍射损耗δDaM1M2I1I0I1，π(a+lθ)222)(ln21θδLaaD+−=2)1ln(21aLθ+=)1ln(aLθ+=)1ln(2aLDλδ+=λLa2NF=2aLDλδ≈∴2201)π(πθLaaII+=220)(θLaaI+=DIIδ201e−=()比较得aλθ~若以菲涅耳系数：很大时NF可描述衍射损耗NF↑，δD↓NF1=§2.1光腔的作用和损耗描述则逸出腔在腔内往返m次：如果腔内传播的光束不是严格轴向的，或者两反射镜不是严格平行，存在几何偏折损耗。假设由于几何偏折损耗时光子在腔内的寿命为τθ3.几何偏折损耗∴cLm/2θτ=xD2=θtan2LD=θLD2≈θθθ≈≈sintanθτθcD=若DM1M2θ2xxDM1M2θ2xxL§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论z共轴球面腔：由任意距离的这样一对球面反射镜构成的谐振腔¾共轴球面腔z共轴球面：球心在其法线连线上的球面。¾几何光学：λ→0，不计衍射，只计几何偏折损耗，研究腔的稳定性z低损耗→稳定腔→高斯光束LR1M1R2M2z中损耗→临界腔→高斯光束z高损耗→非稳定腔→点光束§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论一、光线传输矩阵z采用近轴光线：tanθ≈sinθ≈θz光线参考面上的参量为：r和θ，θ符号规定为：出射方向在轴上方“+”出射方向在轴下方“-”θ“+”θ“-”zr和θ的意义rθRPOO′zrr′RRθθθtan=RrRr=θRPθ≈§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论对于给定的光学系统，选取合适的参考面，采用传输矩阵可求得光束经光学系统后形式。如图：光学系统的变换作用称为传输矩阵zRP1RP2⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA⎥⎦⎤⎢⎣⎡11θr=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22θr⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1111θθDCrBAr222θrR=1111θθDCrBAr++=DCrBAr++=1111//θθDCRBAR++=11⎥⎦⎤⎢⎣⎡11θrR1→R2的ABCD定律光学系统§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论如图：已知RP1处的r1、θ1(R1)222θrR=111θθlr+=lr+=11/θlR+=1由图可见：1.l长的自由空间传输变换zRP1RP2lr1r2θ1θ2112θlrr+=1120θθ+⋅=r,1=A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22θr⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1111θθDCrBAr比较∴∴ABCD矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101lDCBA当θ=0时为平面波！,lB=,0=C1=D§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论¾反射变换，如图：2.界面反射、透射的变换12rr=12θθ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡22θr⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1111θθDCrBAr比较∴ABCD矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001DCBAθ1θ2r1r2zRP2RP1¾透射变换，如图：12rr=∴ABCD矩阵为：1212θθnn=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21001nnDCBAn1n2zθ1θ2RP§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论3.薄透镜的变换(焦距f)012+=rr=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22θr⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1111θθDCrBAr比较∴ABCD矩阵为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101fDCBAr1r2θ1θ2αfF21θθα+=122θθ−=fr1121θθ−=−rf∴1121θθ+−=rfDCRBARR++=1121111+−=RfRRF§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论4.球面镜的反射变换012+=rr=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22θr⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1111θθDCrBAr比较∴ABCD矩阵为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201RDCBA∴ααθ1θ2θ2γRRPγθθ212+=−)(211θαθ−+=12θα−=112θ−=Rr1122θθ+−=rR2Rf=可见：凹面镜的变换相当于薄透镜的变换⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=1101fr1r2§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论二、共轴球面腔的稳定条件和本征光束光线在腔内往返多次仍保持在腔内。问题：z什么样的腔型？z什么样的光线？解决思路：传输变换矩阵！R1R2Lz⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−12011R⎥⎦⎤⎢⎣⎡101L⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−12012R可能的变换有3§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论参考面的选取问题：z稳定性、本征光束与RP位置无关zRP位置不同，ABCD矩阵不同参考面选在M1处的变换矩阵经以下4次变换R1R2Lz1.往返矩阵—腔内一个来回的变换矩阵z计算腔内光束参数是与RP位置直接相关RP(1)(2)(3)(4)(1)L自由空间变换(2)R2反射变换(3)L自由空间变换(4)R1反射变换§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论(1)R1→R2自由空间变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122101θθrLr⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡222331201θθrRr⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3344101θθrLr⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡441551201θθrRr(2)R2反射变换(3)R2→R1自由空间变换(4)R1反射变换依次代入得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11215510112011011201θθrLRLRr⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11θrDCBA)1)(2)(3)(4(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−+−−−−=21221212222242414222221RRLRLRLRRLRRRLLRL§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论注意：往返变换矩阵(1)各次变换矩阵相乘的顺序(4)(3)(2)(1)不能改变！)1)(2)(3)(4(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA(2)改变参考面，往返变换矩阵一定变化！(3)参考面不同，往返变换矩阵不同，但对研究腔的稳定条件无影响⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−+−−−−=21221212222242414222221RRLRLRLRRLRRRLLRL§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论光线在腔内经n次往返后：2.谐振腔稳定条件(低损耗)引入矢量描述光线。光线在腔内n次往返后仍保持在腔内(即仍保持傍轴条件)，认为腔是稳定的。否则是不稳定的(高损耗)。⎥⎦⎤⎢⎣⎡=θrrv⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111θrrv⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nnnrrθv⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11θθrDCBADCBADCBArnnn4444434444421L个∴n次往返的变换矩阵为：4444434444421L个nnnnnDCBADCBADCBADCBA⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡nDCBA⎥⎦⎤⎢⎣⎡=§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11θθrDCBArnnnnnn保持傍轴条件，要求An、Bn、Cn、Dn保持有限。⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nnnrrθv矩阵理论表明，如果的行列式⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA1=−=BCADDCBA则：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−)(S)(S)(S)(S)(S)(S211121XXDXCXBXXADCBAnnnnnnnnnnSn(X)——切比雪夫多项式§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论(1)若X=A+D=2cosΦSn(X)不确定！得到稳定条件：12cos+=DAΦΦΦsin)1sin()(S+=nXn(有限！)(2)若X=A+D=2coshΦΦΦsinh)1sinh()(S+=nXn12cosh+=DAΦ(发散！)(3)若12cos=+=DAΦπk=Φ12+DA121+−DA§2.2共轴球面腔的传输矩阵理论代入往返矩阵中的A、D有：改写为(两边+1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡DCBA12221121221+−−−RRLRLRL22222021221+−−RRLRLRL11021221