高中数学必修五课件：3.1《不等关系与不等式》(人教A版必修5)

3.1不等关系与不等式掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系；会用差值法比较两实数的大小；掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．如果a－b是正数，那么a________b；如果a－b等于零，那么a________b；如果a－b是________数，那么ab，反过来也对．答案：＝负2．如果ab，那么b________a；如果b________a，那么ab，即ab⇔b________a.答案：自学导引3．如果ab，bc，那么a________c.答案：4．如果ab，c∈R那么a＋c________b＋c.答案：5．如果ab，c0，那么ac________bc.如果ab，c0，那么ac________bc.答案：6．如果ab，cd，那么a＋c________b＋d.答案：7．如果ab0，cd0，那么ac________bd.答案：8．如果ab0，那么an________bn，(n∈N，n≥2)．答案：9．如果ab0，那么na________nb，(n∈N，n≥2)．答案：1．不等关系与不等式有什么区别？答案：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“”、“”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“ab”、“ab”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．自主探究2．甲、乙、丙三人，甲的年龄大于乙，乙的年龄大于丙，那么甲的年龄大于丙吗？10年后，甲的年龄还大于乙吗？为什么？答案：甲大于丙，10年后，甲仍大于乙根据不等式的性质可知．1．已知abc，且a＋b＋c＝0，则()A．b2－4ac0B．b2－4ac＝0C．b2－4ac0D．不能确定b2－4ac的符号解析：∵abc，且a＋b＋c＝0，∴a0，c0，∴b2－4ac≥－4ac0.答案：A预习测评2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是()A．xyB．x＝yC．xyD．不能确定解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝－70，∴xy.答案：C3．已知ab，cd，且c、b不为0，那么下列不等式成立的是()A．abbcB．acbdC．a－cb－dD．a＋cb＋d解析：∵ab，cd，由同向不等式可加性得a＋cb＋d.答案：D4．已知ab0，那么下列不等式成立的是()A．a3b3B．a2b2C．(－a)3(－b)3D．(－a)2(－b)2解析：∵ab0，∴a3b3.答案：A1．两个实数比较大小关系在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．特别提醒：(1)作差比较法是比较大小的主要方法，它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0的大小关系，即“差”的正负号而比较出两个数的大小关系．(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系而得到两个数的大小．要点阐释2．利用不等式性质判断不等关系不等式的性质是判断不等关系的理论依据和方法．不等式的性质较多，要注意识记和准确地理解与应用．特别要注意某些性质的限制条件，以防乱用和混用．特别提醒：(1)同向不等式不能相减．(2)异向不等式不能相加．(3)两边同乘或除以一个负数，不等式要反向．(4)ab0，cd0⇒acbd与ab，cd⇒/acbd易混淆，其中，应注意它们的区别，前一个各项为正，后一个没有正负，故不成立．题型一比较大小【例1】比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．典例剖析解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34.∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥340，∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)0，∴2x2＋5x＋3x2＋4x＋2.方法点评：比较大小的一般步骤是：作差——变形——定号，变形是比较大小的关键，是最重要的一步，因式分解，配方，凑成若干个平方和等，是“变形”的常用方法．1．设m＝(x＋6)(x＋8)，n＝(x＋7)2，则()A．mnB．m≥nC．mnD．m≤n解析：∵m－n＝(x＋6)(x＋8)－(x＋7)2＝x2＋14x＋48－(x2＋14x＋49)＝－10，∴mn.答案：C题型二不等式的性质的应用【例2】判断下列各题的对错：(1)cacb且c0⇒ab(2)ab且cd⇒acbd(3)ab0且cd0⇒adbc(4)ac2bc2⇒ab解：(1)cacbc0⇒1a1b，当a0，b0时，此式成立，推不出ab，∴(1)错．(2)当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立．∴(2)错．(3)ab0cd0⇒adbc0⇒adbc成立．∴(3)对．(4)显然c20，∴两边同乘以c2得ab.∴(4)对．方法点评：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需要的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定．2．适当增加条件，使下列各命题成立．(1)若ac2bc2，则ab；(2)若ab，则－ac－bc；(3)若ab，则1a1b；(4)若ab，cd，则acbd；(5)若ab，则a2b2.解：(1)由ac2bc2，知c≠0，即1c20，对条件ac2bc2两端乘以正数1c2，可得结论ab成立．(2)由ab⇒－ac－bc成立，只要增加c0即可．(3)ab⇒a－b0⇒b－a0，1a1b⇒1a－1b＝b－aab0，∴ab0.∵ab，∴增加ab0或ba0.(4)增加b≥0，d≥0.(5)增加a≥0.误区解密对不等式性质理解有误【例3】已知－1≤a＋b≤1①，1≤a－2b≤3②，求a＋3b的取值范围．错解：2×①＋②得－1≤3a≤5，故－13≤a≤53，－1×②＋①得0≤－3b≤4，故－4≤3b≤0.所以－133≤a＋3b≤53.错因分析：错解中用了同向不等式相减从而扩大了所求代数式的取值范围，导致范围不准确．正确的解法是所求问题用已知的不等式进行表示，根据已知不等式的取值范围，利用同向不等式相加的性质进行求解．注意同向不等式不能相减或相除．又－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23，∴－113≤a＋3b≤1.正解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝53，λ2＝－23.1．不等式的性质是不等式变形的依据．每一步变形，都应有根有据．记准适用条件是关键．2．关于处理带等号的情况；由ab，b≥c或a≥b，bc均可推得ac，而a≥b，b≥c不一定可以推得ac，可能是ac，也可能是a＝c.课堂总结3．比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的性质．在教学时应指出，比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号，判断差的符号主要是因式分解、配方法等．4．不等式的加法、乘法运算一是满足同向，二是只有正数才能相乘而不改变不等号的方向．