论复变函数在工程中的应用

复变函数与积分变换学院：电气工程学院专业班级：电气工程及其自动化1303班学号：131502131学生姓名：王丁指导教师：丁蕾辅导员：鲁力鹏2014年12月论复变函数在工程中的应用1、利用复变函数研究平面向量场的有关问题。以静电场为例。我们知道，场内没有其他带电物体的平面静电场即使无源场也是无场。我们可以利用复变函数中的解析函数构造场E的复势。因为E为无源场，所以divE=+=0。从而我们知道在B内−𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑦是某二元函数u(x,y)的全微分，即：dux,y=−𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑦由于等值线u(x,y)=𝑐1上任一点处电场强度E的方向与等值线在该点处的切线方向相同，等值线就是向量线，也就是场E的电力线。因此称u(x,y)为该场的力函数。又因为场E为无旋场，所以−=0。从而我们知道在B内−𝑥𝑑𝑥−𝑦𝑑𝑦也是某二元函数v(x,y)的全微分，即：dvx,y=−𝑥𝑑𝑥−𝑦𝑑𝑦所以v(x,y)是场E的势函数，等值线v(x,y)=𝑐2就是等势线。综上所述，不难看出如果E是单连域B内无源无旋场，那么u与v也满足C-R方程，并且它们具有连续偏导数，所以，函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是B内的一个解析函数，成为静电场E的复势。利用静电场的复势可以统一研究力函数和势函数，讨论电力线和等势线的分布，描绘出静电场的图像。以上便是复变函数在静电场中最初步研究的一些浅显的应用。显而易见，复变函数的一些基本性质（如解析函数、C-R条件等）在其中发挥着举足轻重的作用。2、相量法分析线性电路的正弦稳态响应。相量法（phasermethod），分析正弦稳态电路的便捷方法。它用称为相量的复数代表正弦量，将描述正弦稳态电路的微分（积分）方程变换成复数代数方程，从而简化了电路的分析和计算。相量可在复平面上用一个矢量来表示。它在任何时刻在虚轴上的投影即为正弦量在该时刻的瞬时值。引入相量后，两个同频率正弦量的加、减运算可以转化为两个相应相量的加、减运算。相量的加、减运算既可通过复数运算进行，也可在相量图上按矢量加、减法则进行。正弦量与它的相量是一一对应的，因此求出了相量就不难写出原来需要求的正弦量。利用相量可将电路元件在时域中的电压电流关系转换成电压相量与电流相量的关系。将正弦交流电路中每个电路均用对应的相量电路模型代替，便得到一个与原电路相对应的相量电路模型，这种模型对正弦交流电路的计算很有用处。正弦交流电路中一个不含独立电源且与外电路无耦合的一端口网络，其端上的电压相量与电流相量的比值定义为该网络的入端复数阻抗，简称阻抗。它的倒数定义为该网络的入端复数导纳，简称导纳，分别用符号Z和Y表示。复数阻抗的实部称为等效电阻，虚部称为电抗，模称为阻抗模，幅角称为阻抗角,它们分别用符号R、X、|Z|、φ表示。复数导纳的实部称为等效电导，虚部称为电纳，模称为导纳模，幅角称为导纳角，它们分别用符号G、B、|Y|、φ表示，于是Z=R+jX=|Z|eY=G+jB=|Y|e显然，阻抗模等于端口电压振幅（有效值）与端口电流振幅（有效值）的比值，阻抗角等于端口电压超前端口电流的角度；导纳模等于端口电流振幅(有效值)与端口电压振幅（有效值）的比值，导纳角等于端口电流超前端口电压的角度。电阻元件、电感元件和电容元件都是最简单的一端口网络。显然，复数阻抗（复数导纳）的引入能使原非同类的元件归并为都以复数阻抗（复数导纳）来表征的同类元件，复数阻抗（复数导纳）在交流电路中的地位与直流电路中的电阻（电导）相当。3、谐波分析法中的复变。在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一。积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用。式表明周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，这些简谐波的(角)频率分别为一个基频的倍数。)cos()(100nnnTθtnωAAtfFourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系。它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用。离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要。4、Laplace变换在电路分析中的应用。对于具有多个动态元件的复杂电路,用直接求解微分方程的方法比较困难。例如对于一个n阶方程,直接求解时需要知道变量及其各阶导数在t=0+时刻的值,而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时刻的值,从这些值求初始条件的工作量很大。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换,但它比傅立叶变换有更广泛的适应性,是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。在傅立叶变换中,引入衰减因子σ(σ为实常数),根据不同信号的特征,适当选取σ的值,使乘积信号f(t)σ当t→∞时信号幅度趋近于0,从而使f(t)σ的定义式积分收敛。∫σω∞∞=∫σω∞∞其积分结果为s(s=σ+ωj)的函数,F(s)=f(t)dt即为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对。引入拉普拉斯变换后,傅立叶变换中不能解决的零初始状态下的系统响应也可迎刃而解。以上是我运用复变函数与积分变换这个工具，结合所学物理知识以及电路分析所作的总结。