专题04 数列通项公式的求解策略-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)

Gothedistance【高考地位】在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。【方法点评】方法一数学归纳法解题模板：第一步求出数列的前几项，并猜想出数列的通项；第二步使用数学归纳法证明通项公式是成立的.例1若数列na的前n项和为ns，且方程20nnxaxa有一个根为ns－1，n=1,2,3...(1)求12,aa；（2）猜想数列nS的通项公式，并用数学归纳法证明Gothedistance【变式演练1】已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。Gothedistance由此可知，当1nk时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。方法二nS法使用情景：已知()()nnnSfaSfn或解题模板：第一步利用nS满足条件p，写出当2n时，1nS的表达式；第二步利用1(2)nnnaSSn，求出na或者转化为na的递推公式的形式；第三步根据11aS求出1a，并代入{}na的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据1a和{}na的递推公式求出na.例2数列{na}的前n项和为nS，1a=1，12nnaS(nN),求{na}的通项公式。Gothedistance【答案】na=213(2)nn(n=1)2所以na=213(2)nn(n=1)2。【变式演练2】在数列{}na中，11a，)(21......321321Nnannaaaann（1）求数列{}na的通项na；（2）若存在*nN，使得(1)nan成立，求实数的最小值.【答案】（1）21,123,2nnnann；(2)13Gothedistance方法三累加法使用情景：型如1()nnaafn或1()nnaafn解题模板：第一步将递推公式写成1()nnaafn；第二步依次写出121,,nnaaaa，并将它们累加起来；第三步得到1naa的值，解出na；第四步检验1a是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.例3在数列{na}中，1a=1，11nnaan(n=2、3、4……)，求{na}的通项公式。【答案】222nnnaGothedistance【变式演练3】已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n，求an.【答案】312nan方法四累乘法使用情景：型如1()nnafna或1()nnaafn解题模板：第一步将递推公式写成1()nnafna；第二步依次写出211,,nnaaaa，并将它们累加起来；第三步得到1naa的值，解出na；第四步检验1a是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.例4已知数列na满足nnnaannaa求,1,3211【答案】nan32【变式演练4】已知11a,1()nnnanaa*()nN,求数列na通项公式.Gothedistance【答案】nan方法五构造法一使用情景：型如1nnapaq（其中,pq为常数，且(1)0,pqp）解题模板：第一步假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步由待定系数法，解得1qtp；第三步写出数列{}1nqap的通项公式；第四步写出数列na通项公式.例5已知数列{na}满足1a=1，1na=21na(nN)，求数列{na}的通项公式。【答案】na=21n【变式演练5】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.【答案】an＝2n＋1－3.Gothedistance方法六构造法二使用情景：型如1nnapaqnr（其中,pq为常数，且(1)0,pqp）解题模板：第一步假设将递推公式改写为1(1)()nnaxnypaxny；第二步由待定系数法，求出,xy的值；第三步写出数列{}naxny的通项公式；第四步写出数列na通项公式.[来源:学科网ZXXK]例6已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。【答案】42231018nnann【解析】设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz⑧【变式演练6】设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an.Gothedistance【答案】an＝2·3n－n－1.方法七构造法三使用情景：型如1nnnapaq（其中,pq为常数，且(1)0,pqp）解题模板：第一步在递推公式两边同除以1nq，得111nnnnaapqqqq；第二步利用方法五，求数列{}nnaq的通项公式；第三步写出数列na通项公式.例7已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。[来源:Zxxk.Com]【答案】例8已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。Gothedistance【答案】31()222nnan【变式演练7】已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋12n＋1，求an.【答案】bn＝3－223n，an＝bn2n＝312n－213n.【解析】法一：在an＋1＝13an＋12n＋1两边乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝23(2n·an)＋1.令bn＝2n·an，则bn＋1＝23bn＋1，根据待定系数法，得bn＋1－3＝23(bn－3)．所以数列{bn－3}是以b1－3＝2×56－3＝－43为首项，以23为公比的等比数列．[来源:学|科|网]Gothedistance方法八构造法四使用情景：型如11nnnapaqa（其中,pq为常数，且0,2pqn）解题模板：第一步假设将递推公式改写成11()nnnnasatasa；第二步利用待定系数法，求出,st的值；第三步求数列1{}nnasa的通项公式；第四步根据数列1{}nnasa的通项公式，求出数列na通项公式.例9数列na中，nnnaaaaa122123,2,1，求数列na的通项公式。Gothedistance【答案】na1)31(4347n【变式演练8】已知数列}{na满足*12211,4,43().nnnaaaaanN（1）求34,aa的值；（2）证明：数列1nnaa是等比数列；（3）求数列}{na的通项公式；【答案】见解析Gothedistance方法九构造五使用情景：型如1nnnpaaqar（其中,,pqr为常数）解题模板：第一步将递推公式两边取倒数得111nnrqapap；第二步利用方法五，求出数列1{}na的通项公式；第三步求出数列na通项公式.例10已知数列na满足,1,13111aaaannn求数列na的通项公式。[来源:学.科.网]【答案】132nan【变式演练9】已知数列{an}的首项a1＝35，an＋1＝3an2an＋1，n＝1,2,3，…求{an}的通项公式．【答案】an＝3n3n＋2.【解析】∵an＋1＝3an2an＋1，∴1an＋1＝23＋13an，Gothedistance∴1an＋1－1＝131an－1.方法十构造六使用情景：型如1(2,0)rnnapanp解题模板：第一步对递推公式两边取对数转化为1nnbpbq；第二步利用方法五，求出数列{}nb的通项公式；第三步求出数列na通项公式.例11若数列{na}中，1a=3且21nnaa（n是正整数），求它的通项公式是na。【变式演练10】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1a·a2n(a0)，求数列{an}的通项公式．【答案】112nnaaGothedistance【高考再现】1.【2013年全国高考新课标I理科】若数列{an}的前n项和为Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式是an=______.2.【2014高考重庆理22】设2111,22(*)nnnaaaabnN（Ⅰ）若1b，求23,aa及数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若1b，问：是否存在实数c使得221nnaca对所有*nN成立？证明你的结论.Gothedistance假设nk时结论成立，即11kak.则21111111111kkaakk，这就是说，当1nk时结论成立.∴*11,nannNGothedistance考点：1、数列通项公式的求法；2、等差数列；3、函数思想在解决数列问题中的应用.4、数学归纳法.3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设数列na的前n项和为nS.已知11a，2121233nnSannn，*nN.(Ⅰ)求2a的值；(Ⅱ)求数列na的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数n，有1211174naaa.Gothedistance4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足21441,,nnSannN且2514,,aaa构成等比数列．(1)证明：2145aa；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaa．Gothedistance（3）1223111111111335572121nnaaaaaann1111111111111.23355721212212nnn【反馈练习】1.已知数列na的首项12a，其前n项和为nS．若121nnSS，则na．2.设{}na是首项为1的正项数列，且2211(1)0()nnnnnanaaanN，则na.33.。已知数列{}na的前n项和为nS，且31nSann，Nn，21a.则na.Gothedistance4.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na.5．已知数列{an}满足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．Gothedistance6.【成都七中高2014届高三3月高考模拟考试数学（理）】(本小题满分12分)设函数21()(0)3fxxx，数列{}na满足*1111,(),2.nnaafnNna且（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）对*nN，设1223341111nnnSaaaaaaaa，若34ntSn恒成立，求实数t的取值范围．24()(*)23ngnnNn的最小值.将24()(*)23ngnnNn变形得224(49)99()236(*)232323nngnnnNnnn.利用函数9()hppp的单调性便可得24()(*)23ngnnNn最小值，进而得t的取值范围.Gothedistance考点：1、等差数列；2、裂项求和；3、不等关系.7.已知数列{}na的前n项和为3nnS，数列{}nb满足：11,b*1(21)()nnbbnnN。