等比数列

2.4.1等比数列情景引入：引例1：•如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816…庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。1111124816，，，，，…如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：引例2：引例3：•一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：120202203…观察:这四个数列有什么共同特点？共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同一个常数.①1,2,4,8,···.②1,···.21,81,41,1,20,202,203,···.③100001.0198,4100001.0198,2100001.0198,3100001.0198,5100001.0198.④1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。(0)qq一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。等差数列的定义：注意：（1）从第2项起，后一项与前一项作商，得到的是公比，不能颠倒；（2）商要求是同一个常数，（3）从第2项起，每一项都要满足上述条件。（4）既是等差又是等比的数列：非零常数列0,0naq2.等比数列的定义式：1(0,2)nnaqqqna为常数且1(0)nnaqqqa为常数且说明：此公式是判断，证明一个数列是否为等比数列的主要依据。定义法判断下列数列是否为等比数列，若是求出首项和公比（1）3，6，12，24，48，...（2）-4，-2，-1，-1/2,-1/4,...（3）4，2，1，1/2,1/4,...（4）-3，-6，-12，-24，-48，...（5）c,c,c,c,c,c,c,c,c...132aq是1142aq是1142aq是132aq是100,1ccacq当时，不是不一定当时，是，既是等差又是等比的数列：非零常数列4.等比中项：,,abGaGbGab如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫作与的等比中项2GabGab2GbGabaG证明：注意：不是任意两项都有等比中项，a,b同号时，a与b才有等比中项。1.1,,16=_____bb例若成等比数列，则2164bb解：1.1,,,,16=_____abcb变式若成等比数列，则2164bb解：44奇数项符号相同221604abcbbb且5.等比数列的通项公式：•法一：递推法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa……由此归纳等比数列的通项公式可得：11nnqaa等比数列等差数列daa12daa213daa314……由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1类比5.等比数列的通项公式：累乘法qaa12qaa23qaa34……11nnqaaqaann1共n–1项×）等比数列•法二：累加法daa12daa23daa34……dnaan)1(1daann1+）等差数列类比2.444,,,32781例求下列等比数列的通项公式。（1）3，6，12，24，48，（2）-4,-（3）-2,4,-8,16,-32,132nna114()3nna12(2)(2)nnna14353.2,16(1)(2),35nnnnaaaaaabbn例在等比数列中，求数列的通项公式；若分别是等差数列的第项和第项，试求数列的通项公式及前项和公式。(0)naqq解：(1)设等比数列的公比为143412,16aaaaq3418aqa111222nnnnaaq2q13355,832nbadbaba（2）设等差数列的首项为公差为由题意可知：531253bbd3(3)1228nbbndn1321216(1)6222nbbdnnSnbdnn例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：＿＿＿＿＿＿上式还可以写成可见，这个等比数列的图象都在函数的图象上，如右图所示。01234nan87654321····思考2：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？anOn123456710987654321等比数列图象是函数图象上一群孤立的点:221的图象等比数列nna例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是an.由条件可得,数列{an}是一个等比数列,其中a1=0.84，q=0.84，设an=0.5，则0.84n=0.5，两边取对数,得nlg0.84=lg0.5，解得n≈4.答:这种物质的半衰期大约为4年.分析:经过1年剩留量:0.8420.84230.843······n0.84n当n=？时，0.84n=0.5放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期.例2根据如图的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？开始输出A结束否A=1n=1n=n+1A=2An＞5?是A=A12图，，，121324354=111==2211==2411==2811==.216aaaaaaaaa由可知，将来数记为【解析】123若打印出的依次a(即A),a,a,.11121.2nnnnaaa由于，因此这个数列是等比数列，其通项公式是（）=递，11=11(1).2nnaaan于是，可得推公式例3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。18123121qaqa316,231aq解：设首项为a1，公比为q，则有解得：所以a2=8分析:123a184a1221qa1831qa等差数列等比数列类比1(2)nnaadn差0nad和可为1(2)nnaqna比0naq和均不可为na累加法求na累乘法求2abA等差中项Gab等比中项奇数项同号，偶数项同号)0,(111qaqaannan=a1+(n－1)d，n∈N+