特级教师高考数学首轮复习第7讲-函数有界性

一、函数有界性知识结构二、重点叙述1.函数有界性的概念①定义:对于函数f(x),如果存在一个常数M,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x)≤M(或f(x)对于函数f(x),如果存在一个常数m,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x)≥m(或f(x)m),那么函数f(x)就叫做有界函数,m是函数f(x)的下界。②函数有界与最值的关系:有界函数不一定有最值;函数有最值,则函数一定有界。函数有上界,无论f(x)≤M,还是f(x)0,使得f(x0)=M,或f(x0)=H函数有下界,无论f(x)≥m,还是f(x)m,若在定义域内不存在x0,使得f(x0)=m,或f(x0)=Hm,则函数就没有最小值。如函数在(-∞,-1)内有下界,但没有最小值,在(-1,-∞)内有上界,但没有最大值。2.函数有界性的几何特征在函数图象变化过程中,函数图象永远在直线y=M的下方,或在直线y=m的上方,或夹在两直线y=M和y=m之间。3.函数有界性的判定方法与证明①图象法:在函数图象变化过程中,函数图象永远在直线y=M的下方,或在直线y=m的上方,或夹在两直线y=M和y=m之间。②定义法:设定义在A上的函数f(x),利用数式变换,使得f(x)=M-g(x),或f(x)≤M-g(x),且对于任意的x∈A,有g(x)≥0,则f(x)≤M。设定义在A上的函数f(x),利用数式变换,使得f(x)=m+g(x),或f(x)≤m+g(x),且对于任意的x∈A,有g(x)≥0,则f(x)≥m。③最值法:转化为求函数最值。即;或。4.函数有界性的应用①解题需要判断或证明函数的有界性。如证明不等式f(x)g(x))恒成立,可利用函数的有界性设计“中介”M(或m),使f(x)mg(x)),从而证得f(x)g(x))成立。如,证明不等式。②用于判断或证明关于不等式恒成立的问题。设定义在A上的函数f(x),证明f(x)≤M,或f(x)≥m对任意的x∈A恒成立。三、案例分析1.案例1:（2008广东·14）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是________．【答案】。分析：用直接法解之。∵，利用二次函数的有界性，把关于的方程有实根转化为含绝对值的不等式恒成立的问题解决。解：∵，∴为何值时关于的方程有实根转化为求不等式恒成立时实数的取值范围。①当即，与矛盾；②即，∴当时，恒成立；③即，与矛盾。所以所求实数的取值范围是。2.（2008湖北·理7）若在上是减函数，则b的取值范围是（）A、B、C、D、【答案】：C分析：函数f(x)是超越初等函数，其单调性的研究须用导数方法，函数f(x)在区间[-1，+∞）上是减函数，即函数在区间[-1，+∞）上恒成立，从而求得b的取值范围。由于本题是选择题，可以用特殊值判断的方法取得答案。解：∵，∴函数在区间上是减函数，也就是在区间[-1，+∞）上恒成立。在上恒成立，即在上恒成立，令，∴当且仅当，或时在上恒成立。即。另解：（用特殊值判断法）∵，令，则，∴函数在上是减函数。排除了B、D。令，则，∴函数在上有增有减。排除了A。所以选C。3.案例3：已知对任意成立，求实数的取值范围。【答案】分析：由于，所以不等式两边取对数,可转化为对任意恒成立。设想存在实数M，使得恒成立，从而转化为求函数的最大值M。解：对不等式两边取对数,得，由于，所以转化为设存在实数M，使得成立，显然M是函数的最大值。设，则，令，得，当时，，函数在上递增；当时，，函数在上递减。∴函数在处取得极大值，唯一的极大值即是最大值。∴函数的最大值。由。所以实数的范围是。4.案例4：用于判断或证明关于不等式恒成立的问题。设定义在A上的函数f(x)，证明f(x)≤M，或f(x)≥m对任意的x∈A恒成立。案例（2008天津·21(3)）已知函数（），其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。【答案】。分析：对于任意的，不等式在上恒成立，转化为对于任意的，，于是间的不等关系，从而求得的取值范围。解：求导得，∵，∴，从而对任意的恒成立。∴当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增。∴为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立，也就是。∵，∴。所以满足条件的的取值范围是。另解：（以上相同）∴为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，或，即，或，∴。5.案例5：设函数，其中常数。(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。【答案】(I)在区间和是递增函数,在区间是递减函数;(II)。分析：本题展现导数与函数的综合运用的问题，涉及利用导数讨论函数的单调性，第(Ⅰ)小题的关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第(Ⅱ)小问题是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件，从而求出a的取值范围。解：（I），由，得。当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数。综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。（II）∵当时，在区间和是递增函数，在区间是递减函数。∴函数在处取得极大值，在处取得极小值。当时，在或处取得最小值，∴当x≥0时，f(x)0恒成立，当且仅当即解得。所以实数的取值范围是。四、总评⑴函数有界性是函数全局的一个概念,与函数的值域、最值,函数的极限,不等式是密不可分的,它们之间是可以相互转化的,根据不同的需要实施不同的转化;⑵证明不等式f(x)g(x))恒成立,可利用函数的有界性设计“中介”M(或m),使f(x)≤Mg(x)或f(x)m≥g(x)),从而证得f(x)g(x))成立。⑶判断或证明关于不等式恒成立的问题,常常可以转化为设置定义在A上的函数f(x),证明f(x)≤M,或f(x)≥m对任意的x∈A恒成立的问题,即证明或成立,从而转化为求函数的最大值或最小值的问题。