2014年清华大学自主招生物理试题

12014年清华大学自主招生物理试题1.如图所示的传送带装置，与水平面的夹角为𝜃，且𝑡𝑎𝑛𝜃=0.75。传送带的速度为𝑣=4m/s，摩擦系数为𝜇=0.8，将一个质量𝑚=4kg的小物块轻轻的放置在装置的底部，已知传送带装置的底部到顶部之间的距离𝐿=20m。（本题重力加速度𝑔=10m/s2）（1）求物块从传送带底部运动到顶部的时间𝑡；（2）求此过程中传送带对物块所做的功。1【解答】（1）如图做受力分析。垂直斜面方向受力平衡：𝑁=𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃=4𝑚𝑔/5则摩擦力𝑓1为：𝑓1=𝜇𝑁=5/4×4𝑚𝑔/5=𝑚𝑔平行斜面方向做匀加速运动：𝑚𝑎=𝑓1−𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃=𝑚𝑔−3𝑚𝑔/5=2𝑚𝑔/5则𝑎=25𝑔=4m/s2，且方向沿传送带向上运动到物块速度与传送带速度相同时经过的时间为：𝑡1=𝑣/𝑎=1s运动的距离为：𝑆1=𝑎𝑡2/2=2m。剩下的距离为𝑆2=𝐿−𝑆1=18m，之后物块与传送带一起作匀速运动，则𝑡2=𝑆2/𝑣=4.5s故𝑡=𝑡1+𝑡2=5.5s（2）法一：由第一问可知，在物块加速过程中摩擦力为𝑓1=𝑚𝑔=40N此时摩擦力对物块做功𝑊1=𝑓1𝑎1𝑡12/2=80J匀速过程中摩擦力满足：𝑓2=𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃=35𝑚𝑔=24N则传送带做功𝑊2=𝑓2𝑆2=432J则总做功𝑊=𝑊1+𝑊2=512J（注：若是求传送带做功，则需考虑内能的变化，此时𝑊1=𝑓1𝑣1𝑡1=160J，𝑊2不变，总功为𝑊=𝑊1+𝑊2=592J）法二：用功能原理，传送带对物块所做的功为物块获得的机械能（动能与重力势能）则：𝑊=𝑚𝑣2/2+𝑚𝑔𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃=512J2.已知地球的半径为𝑅，地球附近的重力加速度为𝑔。一天的时间为𝑇。已知在万有引力作用下的势能公式为𝐸𝑝=−𝐺𝑀𝑚/𝑟，其中𝑀为地球的质量，𝑟为卫星到地心的距离。（1）求同步卫星环绕地球的飞行速度𝑣；（2）求从地球表面发射同步轨道卫星时的速度𝑣0至少为多少。2.【解答】（1）在地面上，有（黄金代换）：2RMmGmg---------①对于同步卫星：rTmrMmG22)2(------②2联立解得：322TgRv----------------③(2)由机械能守恒：rMmGmvRMmGmv2202121----------④联立②③④解得：)21(23220gTRgRv地球自转的速度为TRu2则最小的发射速度为uvu00=TRgTRgR2)21(23223.在磁场中，一静核衰变成为𝑎,𝑏两核，开始分别做圆周运动。已知𝑎和𝑏两核圆周运动的半径和周期之比分别为𝑅𝑎:𝑅𝑏=45:1，𝑇𝑎:𝑇𝑏=90:117。此裂变反应质量亏损为𝛥𝑚。（1）求𝑎和𝑏两核的电荷数之比𝑞𝑎/𝑞𝑏；（2）求𝑎和𝑏两核的质量数之比𝑚𝑎/𝑚𝑏；（3）求静核的质量数和电荷数；（4）求𝑎核的动能𝐸𝑘𝑎。3【解答】（1）由𝑅=𝑚𝑣/𝐵𝑞，及动量守恒𝑚𝑎𝑣𝑎=𝑚𝑏𝑣𝑏，可得𝑅𝑎:𝑅𝑏=𝑞𝑏:𝑞𝑎，故𝑞𝑎:𝑞𝑏=1:45（2）由𝑇=2𝜋𝑚/𝐵𝑞，有𝑇𝑎/𝑇𝑏=𝑚𝑎𝑞𝑏/𝑚𝑏𝑞𝑎，有𝑚𝑎/𝑚𝑏=𝑞𝑎𝑇𝑎/𝑞𝑏𝑇𝑏==2/117（3）由电荷与质量之比，可设(𝑚𝑎+𝑚𝑏)=119𝑚𝑜，(𝑞𝑎+𝑞𝑏)=46𝑞0，其中𝑚𝑜,𝑞0为定值，单位分别为一个原子质量单位和一个单位正电荷，可推测𝑚𝑜=2,𝑞0=2，此核为𝑈,质量数为238，核电荷数为92。（4）动能满足：𝐸𝑘𝑎=𝑚𝑎𝑣𝑎2/2=𝑝𝑎2/2𝑚𝑎，同样𝐸𝑘𝑏=𝑝𝑏2/2𝑚𝑏，其中𝑝𝑎,𝑝𝑏为两核动量。由动量守恒知：𝑝𝑎=𝑝𝑏，于是有𝐸𝑘𝑎/𝐸𝑘𝑏=𝑚𝑏/𝑚𝑎=1/172则𝛥𝑚𝑐2=𝐸𝑘𝑎+𝐸𝑘𝑏，则𝐸𝑘𝑎=117𝛥𝑚𝑐2/1194.假设房间向环境传递热量的速率正比于房间和环境之间的温度差，暖气片向房间传递热量的速度也正比于暖气片与房间之间的温度差。暖气片温度恒为𝑇0，当环境温度为−5∘C时，房间温度保持在22∘C。当环境温度为−15∘C时，房间温度保持为16.5∘C。（1）求暖气片的温度𝑇0；（2）给房子加一层保温材料，使得温差一定时房间散热的速率下降20%，求环境温度为−15∘C时房间的温度。4【解答】3（1）设两次房间温度分别为𝑇1=22∘C,𝑇1′=16.5∘C，环境温度分别为𝑇2=−5∘C,𝑇2′=−15∘C；设暖气片向房间的散热系数为𝑘1，房间向环境的散热系数为𝑘2，当房间温度平衡时暖气片向房间的散热速率与房间向环境的散热速率相同，则有：𝑘1(𝑇0−𝑇1)=𝑘2(𝑇1−𝑇2)⋯⋯(4.1)𝑘1(𝑇0−𝑇1′)=𝑘2(𝑇1′−𝑇2′)⋯⋯(4.2)两式相比可得：(𝑇0−𝑇1)/(𝑇0−𝑇1′)=(𝑇1−𝑇2)/(𝑇1′−𝑇2′)整理，得：𝑇0=(𝑇2𝑇1′−𝑇2′𝑇1)/﹝𝑇1′−𝑇2′−(𝑇1−𝑇2)﹞=55°C（2）设此时房间的温度为T1′′则k1(𝑇0−𝑇1′′)=(1−20%)𝑘2(𝑇1′′−𝑇2′)⋯⋯(4.3)由(4.1)式可知，𝑘1/𝑘2=(𝑇1－𝑇2)/(𝑇0－𝑇1)=9/11则由(4.3)得𝑇1′′=(𝑘1𝑇0+0.8𝑘2𝑇2′)/(𝑘1+0.8𝑘2)≈20.4°C5.蜡烛与光屏的间距为1.8m。从蜡烛处开始移动透镜，第一次在光屏上出现清晰的像之后，又向前移动了0.72m时，再一次出现了清晰的像。求透镜的焦距𝑓。5【解答】（注：此方法在实验上称为位移法测透镜焦距，也叫二次成像法）令光源蜡烛与光屏间距为𝐿，两次成像时，物距（光源与透镜距离）分别为，像距分别为，两次透镜间距为𝑑，则由成像公式：1/𝑢1+1/𝑣1=1/𝑓⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.1)由对称性（或光路可逆性），交换蜡烛与光屏位置，则成像时透镜在同样位置，故：𝑢1=𝑣2,𝑢2=𝑣1可得：𝑢1+𝑣1=𝐿⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5.2)𝑢2−𝑢1=𝑑=𝑣1−𝑢1⋯⋯(5.3)由(5.2)(5.3)相加相减，消去𝑢1,𝑣1，代入(5.1)，整理可得：𝑓=𝑢1𝑣1/(𝑢1+𝑣1)=(𝐿2−𝑑2)/4𝐿=0.378m6.在𝑥轴上有两个点电荷𝑞1和𝑞2（𝑞1在𝑞2的左边）。𝑥轴上每一点处电势随着𝑥而变化的关系如右图所示。当𝑥=𝑥0时，电势为0；当𝑥=𝑥1时，电势有最小值。（点电荷产生的电势为𝑈=𝑘𝑞/𝑟）（1）求两个电荷𝑞1和𝑞2的位置；（2）求两个电荷的比值q1/q2.6【解答】4（1）由于在𝑥=0处，电势趋于正无穷，可知在原点有一个正电荷，即𝑞1或𝑞2在𝑥=0处。假设𝑞1在原点，则𝑞2在正半轴，此时在正半轴一定有某处（即𝑞2所处位置）电势为无穷大，与图像矛盾，则只能是𝑞2在原点，𝑞1在负半轴。又由于总电势可以为负，则可知𝑞20，设𝑞1位置(𝑥2,0),𝑥20在𝑥=𝑥0处，总电势为0，则𝑘𝑞2/𝑥0+𝑘𝑞1/(𝑥0−𝑥2)=0⋯⋯⋯(6.1)在𝑥=𝑥1处，电势最低点，则电场强度为0𝑘𝑞2/𝑥12+𝑘𝑞1/(𝑥1−𝑥2)2=0⋯⋯⋯(6.2)由(6.1)(6.2)可解得：𝑥2=2𝑥1−𝑥12/𝑥0q1q2=−(1−𝑥1/𝑥0)2则两点电荷位置为𝑞1:(2𝑥1−𝑥12/𝑥0,0)，𝑞2:(0,0)电荷比为q1q2=−(1−𝑥1/𝑥0)27.在如下图所示的电路中，有四个电磁继电器。相关参数标注在图上（图片来自网络）。（1）闭合开关后有何现象；（2）改变滑动变阻器的阻值（总阻值为1欧姆），闭合开关后的现象与（1）有何不同。7.【解答】（1）闭合开关后，四个继电器会从左往右依次闭合，三个灯泡从左往右依次亮。到最后一个继电器闭合后，电源被短路（由于此时的滑动变阻器电阻为零），则四个继电器从左往右又会依次打开，三个灯泡从左往右依次熄灭。直到最后一个继电器打开，电源又接入电路。四个继电器又将依次闭合，三个灯泡又将依次亮起。依此一直循环下去。（2）只考虑第一个电磁继电器与滑动变阻器、电源所组成的电路，则其实为继电器与5变阻器并联，继而与电池相连的电路。设𝑅1为第一个继电器的线圈电阻，𝑅2为滑动变阻器的电阻，𝑟为电源的内阻，Ε为电源电动势，𝐼为整体电流，𝐼1为通过电磁继电器电流，则稳定时：𝐼𝑟+𝐼𝑅1𝑅2/(𝑅1+𝑅2)=Ε𝐼1=𝐼⋅𝑅2/(𝑅1+𝑅2)消去𝐼，有：𝐼1=𝛦𝑅2/𝑅1𝑅2+𝑟(𝑅1+𝑅2)=3𝑅2/(4𝑅2+2)当𝐼10.1A时，𝑅21/13Ω=0.077Ω。即当滑动变阻器的电阻小于0.077Ω时，现象与第一问一样。当滑动变阻器的电阻大于0.077Ω时，无论第四个继电器是否闭合，第一个继电器始终达到吸附电流，𝐼10.1A，则不会断开，因此当四个继电器都闭合之后，电路将保持这样的状态，三个灯泡全部亮起，不会像第一问一样循环闪烁。