植树问题讲义

植树问题讲义【知识要点】在一段路线上，每隔一定的距离种一棵树，一共可以种多少棵树，像这类型问题都是植树问题。这段路线的长度就叫总长，相邻两棵树之间的距离就叫间距，树把路线分成很多个间隔，叫段数；一共种了多少棵树叫棵数。植树问题就是研究总长、间距、段数、棵数四者之间的关系，在不同情况下，四者的关系都会不同。解题关键就在于，分析是哪种把握情况及四者间关系。思考方法就是画图初步判断属哪种情况及四者的关系（一般画最简单的情况，如种一棵或两棵来帮助理解）类型：线（一）、线上植树问题1、不封闭路线两端都种树段数=棵数-1总长=段数×间距例1：少先队员在一条马路的两边栽树（包括端点），每两棵树之间的距离是5米，一共栽了300棵树。这条马路有多少米？【点拨】这题是两面植树问题，解决问题时，将两边的问题看成一边来做，然后应用植树问题的规律解题。植树问题线上植树问题面上植树问题不封闭路线植树封闭路线植树拓展：上楼梯问题、挂钟报时问题例2、有一幢楼高17层，相邻两层间都有17个台阶。某人从一层走到十一层，一共要登多少台阶？（北京市竞赛试题）【点拨】这是一道植树问题的变形题，相当于两端植树问题中的不封闭路线植树类型。解：例3、有一个挂钟，每小时敲一次，几点敲几下。钟敲6下，5秒钟敲完。钟敲12下，几秒钟敲完？【点拨】挂钟报时在敲击时两次敲击之间需要间隔一段时间，符合植树问题中的两端植树这种情况。解：2、不封闭路线一端种树段数=棵数总长=段数×间距例4、父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路各踏了多少个台阶？【点拨】因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，所以属于一端植一端不植。解：3、不封闭路线两端都不种树段数=棵数+1总长=段数×间距例5、大象馆和猩猩馆相距60米，绿化队要在小路两旁栽树，相邻两棵树之间的距离是3米，一共要栽几棵树？解：拓展：锯木问题例6、甲乙丙三组同学参加锯木头劳动，他们领取的圆木长度分别是4米、3米和2米，要求把这三种木料都锯成长为1米的小段，已知每组同学将一根木料据称两段所需要的时间都是6分钟，并且甲、乙、丙三组最后分别锯成了20段，18段，26段，那么工作量最小的组共据木头？分钟解：4、在封闭路线上种树段数=棵数总长=段数×每段长例7有一个圆形花坛，它的外周长180米，沿着它的外围，每隔6米栽一株杜鹃花，然后在相邻的两株杜鹃花之间等距离地载上两株百合花。问可栽杜鹃花多少株？可栽百合花多少株？两株相邻的杜鹃花之间的两株百合花相距多少米？【点拨】在圆周上栽花，可载的株树正好等于分成的段数。又由于每相邻的两株杜鹃花之间等距离的栽上两株百合花，所以在百合花的株数等于杜鹃花把圆分成的段数乘以2的积。求两株百合花之间的距离，即6米上有4株花，也就是有3段的距离。解:（二）面上植树问题株距×行距(植树时行与行之间的距离)=每棵树的占地面积每棵树的占地面积×棵树=总面积例8、一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米，这个苹果园共种苹果树多少颗？【点拨】这道题的难度不大，属于面上植树问题。例9、运动会上，二实验小学的检阅队伍有400人，分成8竖行并列前进，前后两人相隔2米，每分钟走80米。这支队伍通过62米的检阅台需要多少分钟？【点拨】这道题是植树问题的逆解题，相当于已知棵树，每两棵相邻树之间的距离，求数列的长度。由于队伍要通过检阅台，除了队伍的长度，所行进的距离还要加上检阅台的长度解：【解题技巧】掌握了植树问题，就能够解答一些指数问题的变形题。如锯木头、走楼梯、打木桩等问题，也有些题是植树问题、行程问题和时钟问题相结合的综合题。但题目实质上是反映封闭线段或不封闭线段长度、分隔点、间距三者之间的关系。锯木头问题就是典型的不封闭线段上，两头不植树问题。所锯的段数总比锯的次数多一。上楼梯问题，就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔，那么：上楼所需总时间=（终点层—起始层）×每层所需时间。而方阵队列问题，看似与植树问题毫不相干，实质上都是植树问题。