福师大2013-2014-2线性代数期考试卷B

福建师范大学试卷纸共4页，第1页福建师范大学（公共课）数计学院2013—2014学年第二学期考试期末考B卷考生信息栏＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿装订线专业：全校各专业年级：2013级等课程名称:线性代数任课教师：陈兰清、林惠玲试卷类别：开卷（）闭卷（√）考试用时：120分钟考试时间:2014年6月27日下午2点30分题号一1-5二6-10三总得分1112131415得分考生须知1.答案一律写在答题纸上，否则无效。2.答题要写清题号，不必抄原题。3.考试结束，试卷与答题纸一并提交。一．单项选择题：每小题3分，共15分.请将答案写在答题纸上.1.设矩阵A为3阶可逆矩阵，()TrA表示A的主对角线元素之和,k为非零常数,则。(A)||||kAkA(B)()()TrkAkTrA(C)()()RkAkRA(D)11()kAkA2.设n阶可逆矩阵1,ABCABCEB、、满足则（）11(A)AC11(B)CA(C)AC(D)CA福建师范大学试卷纸共4页，第1页3.已知3元非齐次线性方程组Axb的两个解向量12,满足12(1,0,0)T，12(2,4,6)T。若秩()2RA，则Axb的通解为，其中k为任意常数。（A）(2,4,6)(1,0,0)TTk（B）(1,2,3)(1,0,0)TTk（C）(1,0,0)(1,4,6)TTk（D）(1,0,0)(1,2,3)TTk4.设A是3阶矩阵，123,,是3维非零列向量，如果(1,2,3)iiAii，则下列结论正确的是（）（A）若123,2,3P，则有1diag(1,1,1)PAP；（B）若1123,,3P，则有1diag(1,2,3)PAP；（C）若1232,,5P，则有1diag(1,2,3)PAP；（D）若321,,P，则有1diag(1,2,3)PAP.5.下列矩阵不可以对角化的是（）（A）102010002；（B）120210001；（C）102010001；（D）122002001二．填空题：每小题3分,共15分.请将答案写在答题纸上.6.14243444,.ijijabcdcbdaDADaAAAAdbcaabdc设四阶行列式是中元素的代数余子式,则11112257.1341321568.已知三阶矩阵A的特征值为1,1,2,E是单位矩阵，则行列式*2AAE福建师范大学试卷纸共4页，第1页考生信息栏＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿装订线9.已知123211263211(,,)26321063A是正交矩阵，(1,0,1)T，则在基123,,下的坐标为。10.当t满足时，实二次型2221231212233,,542fxxxxxxxtxxx是正定二次型。三．解答题：11~15题，共70分.请将答案写在答题纸上.(要求写出证明过程或演算步骤)11.(12分)已知矩阵110110101,225111341AB，求：(1)2,TABA(2)1.AB12.(12分)设向量组1231215321A:2,8,4,B:3,1.37221(1)求出向量组12312,,,,的一个最大无关组,并把其余的向量用该最大无关组线性表示.(2)证明：组能由组线性表示，但组不能由组线性表示。13.（12分）已知123(1,0,0),(0,1,0),(2,0,1)TTT是3维实向量空间3R的一个基，1(1,0,1),T2(0,1,1),T3(1,2,0)T是3R的一组向量。福建师范大学试卷纸共4页，第1页(1)证明：向量组123,,是3R的一个基;(2)已知向量在基123,,下的坐标为(1,1,1)T,求在基123,,下的坐标。14.(14分)当a，b为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解、无解、无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解（要求用其特解和导出组的基础解系表示）。15.（20分）设实对称矩阵422242224A，（1）求出A的所有特征值和特征向量；（2）求一个正交矩阵Q和对角矩阵，使得1QAQ。（3）证明:当实数2k时,实对称矩阵AkE为正定矩阵.