东南大学高等数学(下册)数学实验总结

1实验一空间曲线与曲面的绘制本实验的目的是利用数学软件Mathematica绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。1、空间曲线的绘制绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D”。如画出参数方程21,)()()(ttttzztyytxx所确定的空间曲线的命令格式为:ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项]例1画出旋转抛物面22yxz与上半球面2211yxz交线的图形。解：它们的交线为平面1z上的圆122yx，化为参数方程为]2,0[,1sincostztytx，下面的mathematica命令就是作出它们的交线并把它存在变量p中：pParametricPlot3DCost,Sint,1,t,0,2Pi运行即得曲线如图1所示。在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的参数方程。如果曲线为一般式0),,(0),,(zyxGzyxF，其在xOy面上的投影柱面的准线方程为0),(yxH，可先将0),(yxH化为参数方程)()(tyytxx，再代入0),,(zyxG或0),,(zyxF解出)(tzz即可。2、空间曲面的绘制作一般式方程),(yxfz所确定的曲面图形的Mathematica命令为：Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项]作参数方程],[],,[,),(),(),(maxminmaxminvvvuuvuzzvuyyvuxx所确定的曲面图形的Mathematica命令为：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax},选项]例2作出上半球面2211yxz的图形。-1-0.500.51-1-0.500.5100.511.52-1-0.500.51-1-0.500.511图2解：首先我们选取绘图区间}11,11{yx作图，输入下面语句：Plot3D11x^2y^2,x,1,1,y,1,1运行后得到了该曲面的图形（图6-2），但是在图形的前面出现了一些蓝色字体报错信息，而且图形不完整，这是因为函数z在范围}11,11{yx内的一些点处无定义。为避免上述问题，可用下面两种方法：（1）定义一个分区域函数)(xf，将无定义的点赋予函数值1：1,11,11),(222222yxyxyxyxf，作出该函数的图形只要键入命令：fx_,y_:Ifx^2y^21,11x^2y^2,1Plot3Dfx,y,x,1,1,y,1,1运行后得图3，可以看到该图形比上半球面多了一部分曲面的图形（即1z平面上的部分）。但是图形比较粗糙，我们可以提高采样点数，例如取采样点数为30，即运行命令Plot3Dfx,y,x,1,1,y,1,1,PlotPoints30可得图形4，由此可见图形已经比较精细了。-1-0.500.51-1-0.500.5111.251.51.752-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.5111.251.51.752-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.5111.251.51.752-1-0.500.51图2图3图4（2）采用参数方程，选取参数的范围使得区域内的每一点都有定义。对于题目中的球面有参数方程]2,0[],2,0[,cos1sinsinsincosvuvzvuyvux，我们输入命令：ParametricPlot3DCosuSinv,SinuSinv,1Cosv,u,0,2Pi,v,0,Pi2,PlotPoints30运行后得图形5。我们还可以改变参数的范围画出上半球面的43部分（如图6）：ParametricPlot3DCosuSinv,SinuSinv,1Cosv,u,0,3Pi2,v,0,Pi2,PlotPoints303-1-0.500.51-1-0.500.5111.251.51.752-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.5111.251.51.752-1-0.500.51图5图63、空间图形的叠加与平面图形类似，空间的立体图形同样可用“Show”命令，把不同的图形（曲线或曲面）叠加并在一个坐标系中显示出来。例3画出由旋转抛物面22yxz与上半球面2211yxz相交所围成的立体几何图形。解：这是一个组合图形。一般地，直接画出两者的图形再组合在一起。但是，这里所要的图形仅仅是两个曲面图形的一部分，因此需要有选择地画出两曲面的相应部分再组合。由于它们的交线为1122zyx，故相应的曲面部分的参数方程为：]1,0[],2,0[,sincos2rtrztrytrx与]2,0[],2,0[,cos1sinsinsincosvuvzvuyvux。输入以下Mathematica语句：t1ParametricPlot3DrCost,rSint,r^2,t,0,2Pi,r,0,1,PlotPoints30;t2ParametricPlot3DCosuSinv,SinuSinv,1Cosv,u,0,2Pi,v,0,Pi2,PlotPoints30;Showt1,t2运行后即得旋转抛物面、上半球面及叠加曲面的图形（图7）。-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.5111.251.51.752-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.5100.511.52-1-0.500.51-1-0.500.51图7例4绘制由曲面1222xyxyxz、、与0z所围成的立体区域。解：输入命令：4s1ParametricPlot3Du,v,u^2v^2,u,1,1,v,1,2,PlotRange0,2,AxesLabelX,Y,Z,DisplayFunctionIdentity;s2ParametricPlot3Du^2,u,v,u,1,1,v,0,2,AxesLabelX,Y,Z,DisplayFunctionIdentity;s3ParametricPlot3D1,u,v,u,1,1,v,0,2,AxesLabelX,Y,Z,DisplayFunctionIdentity;s4ParametricPlot3Du,v,0,u,1,1,v,1,1,AxesLabelX,Y,Z,DisplayFunctionIdentity;Shows1,s2,s3,s4,DisplayFunction$DisplayFunction在上述语句中，选项“DisplayFunctionIdentity”表示不显示图形，而“DisplayFunction$DisplayFunction”则表示显示图形。运行结果如图8。4．用动画来演示产生旋转曲面的过程。例5用动画演示由曲线],0[,sinzzy绕z轴旋转产生旋转曲面的过程。解：该曲线绕绕z轴旋转产生的曲面方程为zyx222sin，其参数方程为]2,0[],,0[,sinsincossinuzzzuzyuzx，输入以下命令，就可得到连续变化的20幅图形：m20;Fori1,im,i,ParametricPlot3DSinzCosu,SinzSinu,z,z,0,Pi,u,0,2Piim,AspectRatio1,AxesLabelX,Y,Z,PlotPoints30运行后得到20幅曲面的图形，图8中列举了其中的三幅。大家还可以进行动画演示，观察到旋转曲面产生的过程。00.250.50.751X00.20.40.60.8Y0123Z00.20.40.60.8Y-1-0.500.51X00.250.50.751Y0123Z00.250.50.751Y0123Z-1-0.500.51X-1-0.500.51Y0123Z-1-0.500.51Y图8-1-0.500.51X-1012Y00.511.52Z-1-0.500.51X-1012Y8图5实验习题1、作出各种标准二次曲面的图形。2、利用参数方程作图，作出由下列曲面所围成的立体：（1）xyxyxz22221、及xOy面（2）01yxxyz、及0z3、观察二次曲面族kxyyxz22的图形。特别注意确定k的这样一些值，当k经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。实验二无穷级数与函数逼近本实验的目的是用Mathematica显示级数部分和的变化趋势；学会如何利用幂级数的部分和对函数的逼近以及进行函数值的近似计算；展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。1、级数部分和的变化趋势在实验一中，我们通过图形能够清楚地显示极限的变化趋势，而级数的和就是部分和序列的极限，下面我们采用散点图来观察级数部分和序列的变化趋势。例1观察级数1112)1(nnn的部分和序列的变化趋势，并求和。解：（1）可以用以下两种方法，从图形来观察级数的敛散性。（a）利用“Table”命令生成部分和数列的数据点集后作点图，输入语句如下：sn_:Sum1^k12k1,k,1,n;dataTablesn,n,1,400;ListPlotdata1002003004000.7780.7820.7840.7860.7880.790.7920.7840.7850.7860.7870.788-0.20.20.40.60.811.2图1图2运行后见图1。从图中可以看到级数收敛，级数和大约为0.786。（b）将级数的所有部分和用竖直线段画出，得到类似条形码的图形，通过这种图形来看出级数的收敛性。输入命令如下：6sn0;n1;h;m3;While1n10^m,snsn1^n12n1;hAppendh,GraphicsRGBColorAbsSinn,0,1n,Linesn,0,sn,1;n;Showh,PlotRange0.2,1.3,AxesTrue运行后见图2。从图中可以看出，级数的和在0.785与0.786之间，并且可以通过改变m的值来提高观察到的和的精度。（2）求和。对于这个级数，可以通过基本输入模板利用求和符号来直接求和，只要输入命令n11^n12n1，运行后得到级数和的精确值：4。但并不是所有的级数都能如此求得和，但可以利用下面的命令来求和的近似值：n11^n12n1NNSum1^n12n1,n,Infinity运行后得结果均为：0.785398。为了得到更高的精度，还可以用“N”命令来求函数“Sum”所得的值。大家可以比较一下下面两条命令输出结果的差异：NSum1^n12n1,n,Infinity,30NNSum1^n12n1,n,Infinity,302、函数的幂级数展开如果函数)(xf在0x邻域内具有任意阶导数，则函数可以展开为0x处的幂级数100)(10)(!)()()(nnnnnnxxnxfxxaxf，称之为泰勒级数。特别地，当00x时，称为麦克劳林级数。例2将函数mxxf)1()(展开为x的幂级数，并利用图形考察幂级数的部分和逼近函数的情况。解：根据幂级数的展开公式，若)(xf能展开成x的幂级数，其展示为1)(!)0()(nnnxnfxf，因此首先定义函数，再计算0x点的n阶导数，最后构成和式。不妨设1m，输入命令如下：7m1;fx_:1x^m;x00;gn_,x0_:Dfx,x,n.xx0;sn_,x_:Sumgk,x0kxx0^k,k,0,n;命令中的函数s[n_,x_]表示的是函数)(xf在0x处的n阶泰勒级数。下面我们通过以下命令观察幂级数的部分和逼近