乃氏图详细

第三章分析可知，系统的响应与输入信号的类型有关系，研究了三种典型的输入信号。下面研究系统在输入正弦信号时，系统的响应情况。当只改变输入正弦信号的频率，不改变输入信号的幅值和相位，探究系统的输出信号的特性。在机械振动学中的随机振动、振动的主动控制、机电控制系统中都有重要的意义()Gs频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性。频率特性分析法(频域法)是利用系统的频率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。频率特性分析法是一种图解的分析方法。不必直接求解系统输出的时域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。系统的频域指标和时域指标之间存在着对应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十分方便、直观。4.1频率特性概述4.2频率特性的Nyquist图示方法4.3频率特性的Bode图示方法4.4频率特性的特征量4.5最小相位系统和非最小相位系统4.1频率特性概述22()1ioXKXssTs例，输入，()1KGsTs()sintiixtX解22()iiXXss2222()sin(arctan)11tTiioXKTXKxtetTTT瞬态项，趋近零稳态项，正弦信号，同频率。相位滞后，且与频率有关。幅值改变，也与频率有关定义几个概念：频率响应：频率特性：幅频特性：相频特性：对正弦信号的稳态响应，在时间域上描述稳态输出的幅值与输入幅值的比值，显然这个比值是的函数。输出信号幅值的放大或缩小的比例()A稳态输出的相位与输入相位的差，显然这个差值也是的函数。()()A和()的总称。()()A()()jAe上述例子，频率特性为：()(arctan)22()1jjTKAeeT本例用定义法求频率特性。直观，但较繁琐。寻找新的求解频率特性的方法：11101110()()()mmOmmnnInnXsbsbsbsbGsXsasasasa当输入为一正弦波，即()siniixtXt22()iIXXss系统的输出为11101221101212()()()OImmmminnnnnnXsGsXsbsbsbsbXasasasasAAABBsjsjssssss(若分母无重根）式中——待定共轭复数；Ai(i=1，2，…，n)——待定常数。1212()nstststjtjtonxtBeBeAeAeAe稳定的系统，，将衰减为零。为瞬态项0is稳态项故稳态响应：()jtjtotxtBeBe式中的可按求留数的方法予以确定：BBBB11101221101212()()()OImmmminnnnnnXsGsXsbsbsbsbXasasasasAAABBsjsjssssss22()()()()()()()()()()()()().().()222IsjiisjsjisjjGjiiiBGsXssjXXGssjGssjssjsjXGssjXXXGjGjGjejjj22()()()()()()()()()()()()().().()222IsjiisjsjisjjGjiiiBGsXssjXXGssjGssjssjsjXGssjXXXGjGjGjejjj()()(()(()))()()22()2()sin(())jGjjGjiijGjjGjjtjtotjtjttiitXXGjeGjejjeeGxtBeBeeejXjGjXGjt()()(),()()()iiGjXAGjGjGjtXt故频率特性为：()()()()()()()jjGjAAeGjeGj以后用表示频率特性()Gj()()sjGjGs求解频率特性简单表明了频率特性与传递函数之间的关系频率特性G(j)是一个以频率为自变量的复变函数，它是一个矢量，故可将G(j)分解为实部和虚部之和即O(ω)G(jω)ReImA(ω)U(ω)V(ω))jIm()Re()(jG式中U()——实频特性，U()=Re[G(j)];V()——虚频特性，V()=Im[G(j)]。这些频率特性之间的关系如下22()()|G(j)|()()()()G(j)arctan()()()cos()()()sin()G(j)=()cos()+jsin()()jAUVVUUAVAAAe()1KGsTs0()sin(t+)iixtX　()A()+0()()sin[()]oixXAt方法二：()()A和关键是求：方法一：第三章方法()?ox例110()1KGss()()ioXsXs()oXs()5sin(230)ixtt()?ossxt10101()101111BsGsss10()11BGjj21010()11121Aj()1011arctanarctan1111j　　=022()5()sin(230())105sin(230arctan)111211025sin(230arctan)111212ossxtAttt频率特性的物理意义图4-3所示的弹簧阻尼系统，其力平衡方程是kyx图4-3弹簧阻尼系统f()dyxykfdt若以x为输入y为输出，则系统的传递函数为()11()()11YsGsfXsTssk式中T=f/k——时间常数。（4-17）在式（4-17）中，令s=j，则得系统的频率特性为()1()()1jGjAejT式中（幅频特性）21()1()arctanATT（相频特性）因此，实频特性21()()cos()1UAT虚频特性2()()sin()1TVAT如若输入位移是正弦函数，即x(t)=x0sint，根据式（4-8），其输出位移应为002()()sin()sinarctan1ytxAtxtTT（4-19）频率特性G(j)的物理意义由例4-1机械系统的频率特性可以看出：(1)机械系统的结构参数（k，f）给定之后，其频率特性完全确定，故频率特性反映了系统的固有特性，与外界因素无关；(2)当频率很低时，输出量y(t)的振幅衰减甚微，相位滞后arctanT也很小，当输入频率增加时，输出振幅减小，相位滞后加大，当→∞时，输出量的振幅衰减至零，相位滞后()→90。说明该系统复现正弦信号的能力是随输入频率变化的，该系统具有低通滤波作用。021xT(3)频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显示出不同的特性。频率特性极坐标图4.2频率特性的Nyquist图示方法曲线上的点到原点的距离表示幅值，与横轴的夹角表示相位频率特性极坐标图()0Gj的极坐标图就是当从变化时，矢量端点的轨迹。Im()Re()UjVG(jω)0jGjGjG0规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。极坐标图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线。主要缺点:不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用，绘制较麻烦。幅相频率特性图的优点:在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了系统的频率特性。1.绘制频率特性Nyqusit图的步骤1．比例环节jVUOK相频特性()0Gj幅频特性()AGjKRe()Im()0K实频特性虚频特性()GsK()GjK2．积分环节ssG1)(11(j)Gjj当=0时，|G(j)|=∞，∠G(j)=-90°;当=∞时，|G(j)|=0，∠G(j)=-90°。1()()90Re()01Im()A幅频特性相频特性实频特性虚频特性Re()Im()903.理想微分环节传递函数G(s)=s频率特性G(j)=j当=0时，|G(j)|=0，∠G(j)=90°；当=∞时，|G(j)|=∞，∠G(j)=90()()()()90Re()0Im()AGjGj幅频特性相频特性实频特性虚频特性Re()Im()904.惯性环节1()1GsTs2211()11jTGjjTT21Re()1T2Im()1TT21()()1AGjT()arctanT当=0时，|G(j)|=1，∠G(j)=0°当=∞时，|G(j)|=0，∠G(j)=-90°当=1/T时，|G(j)|=0.707，∠G(j)=-45°2222222222222222222222222222110.50.50.5111111Re()Im(2212)2211141111TTTTTTTTTTTTTT222121Re()Im()2即11Re(),Im()022即的轨迹是半圆，圆心，，半径jVU02211T221TTjGjG0.51T01T0112004590幅值相位21()()1AGjT()arctanT5.一阶微分环节传递函数G(s)=1+Ts频率特性G(j)=1+jT当=0时，|G(j)|=1,∠G(j)=0°；当=1/T时，|G(j)|=,∠G(j)=45°；2当=∞时，|G(j)|=∞,∠G(j)=90°。2()()1()()arctanRe()1Im()AGjTGjTT幅频特性相频特性实频特性虚频特性当从0→∞时，G(j)的幅值由1→∞，其相位由0°→90°。一阶微分环节频率特性的极坐标图始于点(1，j0)，平行于虚轴，是在第一象限的一条垂线。UjV0jG06.振荡环节222arctan1()12arctan1()1nnGj相频222arctan1()12arctan1()1nnGj相频UjV0rMr12341O1nn2nn34在阻尼比较小时，幅频特性|G(j)|在频率为r处出现峰值。此峰值称为谐振峰值Mr，对应的频率称为谐振频率