二重积分在直角坐标系下的计算

9.1.2二重积分的计算如果积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba1、直角坐标系下二重积分的计算［X-型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xyX型区域的特点：穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域边界的交点不多于两个.积分区域表示为：,dyc).()(21yxy)(2yx)(1yxcdDcd)(2yx)(1yxDY型区域的特点：2）Y型区域的区域，称为Y型区域。与区域边界曲线的交点不多于二个.穿过区域内部且平行于x轴的直线对于一般的平面区域，总可以通过适当的分割将其分割成若干个基本区域之和。直角坐标下计算二重积分（X-型域）：:),()](),([],[:0020100的曲边梯形，其面积为为曲边为底，曲线截面是以区间此截曲顶柱体得到截面，，作平面设求图中截面积方法yxfzxxxxbax)()(000201d),()(xxyyxfxA为底，以曲面的值等于以DdyxfD),(?),(Ddyxf．为曲顶柱体的体积Vyxfz),(应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,截面积)(1xy)(2xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf)()(000201d),()(xxyyxfxA)(0xxxyyxfxxAVbaxxbad)d,(d)()()(21)()(21d),(dxxbayyxfxV通常记为体积zyx)(0xA),(yxfzba0xo.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y-型］［X-型］,22;11:.dd122yxDyxyxID为矩形例：计算xy1122113222221122d2-231ddd1xyyyxdyyxxyxyxID解：364356381132834d32843112xxxx例求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx.2,d)2(2围成和由其中例：计算xyxyDxyDxyo2xy2xyD214AB解：,2,21:2xyxxDXD等式组型区域，并可表示成不可看成区域).4,2(),1,1(BA从而得图中交点,4,2,1,12211yxyx得，由方程组,,22xyxyDDyxxyxydd)2(d)2(则21342d])2()2[(xxxxxx.20243xyo2xy2xyD214AB2122d2xxyyxx22-12d)2(dxxyxyx.1,2,.dd22围成和由直线其中例：求xyyxyDyxyxID2152123d131d13yyyyyyyx,21;1yyxyDY：型区域，解：看作xyo1xyxy2yD112yyDxyxyyxyxI1222122dddd19281124121641231124123142yy,21;2,121;212121xyxDxyxDDDDX：：型区域，解：看作xyo1xyxy2y1D1122D222212122121ddddxxyyxxyyxxIxyxxxyxx2d12d2212121212312123.19281d2d2xx-xxx-x例及是由直线其中计算xyDyyID,dsin.,型区域又可看成型既可看成解：区域YXD.,10:2yxyyDDY表示为型区域，将看成dsinDyyI则.2所围成的区域抛物线yxxy2yxDo11xy102ddsinyyxyyyyyxyyy2dsind10102d)(sinyyyyy1010dsindsinyyyyy1010]sincos[][cosyyyyxy2yxDo11xy.1sin1例求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e.ded求例1102xyyxI..e2分值出积的二次积分计算，可求分，再利用另一种次序重积这个二次积分还原为二不同的积分次序，若把两种注意到二重积分可以有二次积分无法直接积出，所以这个的原函数不是初等函数解：由于函数y,,1,0,xyxxI作的二次积分表达式由yyDyxyxyyxyxI010110dedddeded222则.0,10:,1yxyDDy围成的区域1xyxyDO1010ded0e22yyyyxyy1xyxyDO).1e(2101e212y102de212yyyyxy010ded2例解.10,11:.2yxDdxyD其中计算1D2D3D先去掉绝对值符号，如图dxydyxdxyDDDD321)()(222111211101101122222xxxxdydxxydydxydydxdydxx.1511dxdyxdxdyydxdyydxdyxDDDDDD332121221142114114114)1(2121dxxxdxxdxxdxxxy1例改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图例改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.解积分区域如图xy222xxy原式102112),(yydxyxfdy.,10,10:xxyD,10,10:yxyD,10,20:21xxxyD,10,20:2xxyD1)1(,2222yxxxy.d),(dd),(dd),(32120303120xxyyyyxfxxyxfyxyxf1xyyx2DO23yx312330010(,)(,).yydyfxydxdyfxydx例交换二次积分的积分次序2121,,:DDDDD对应的积分区域次积分在同一坐标系中作出二解.32,20:xyxxD例改变积分)0(),(20222adyyxfdxaaxxax的次序.axy2解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式aayaadxyxfdy0222),(.),(2222aaaaydxyxfdy22xaxy22yaaxa2aa2axaxyxaxD2022:2321DDDD;1)1()(d),(围成的区域及轴、是由。写出两种积分次序为二次积分化二重积分练习：xyyyDyxfDyxDxyxfyyyxfxyxf010101d),(dd),(dd),()1(Dyxfd),()2(练习yyxyxfy211102d),(d围成的区域。及直线在第一象限轴、圆是由202)2(22yxxyxxD21201020d),(dd),(d2xxxyyxfxyyxfxxxdyyxfdx3220,交换积分次序:练习.30,31:,20,10::21yxyDyxyDY型区域10203130yyfdxdyfdxdyI.32,20:xyxxD解xy32xy10112),(yydxyxfdy交换积分次序:练习10112111xxfdydxfdydxyx121yxD1D2例计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy.轴围成的闭区域及的一拱由摆线计算积分xttayttaxDydxdyD)20()cos1(),sin(,例3202220)(020225)cos1()cos1(21)(21adttatadxxyydydxIaxyaOxya2xyy).(0,20:xyyaxD解.)()(]1,0[)(111yxdttfdyxfxf上连续，证明在例设小结二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf10)(，求110)()(xdyyfxfdx.思考题1)(xdyyf不能直接积出,令110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答则原式ydxyfxfdy010)()(,)()(010xdyyfdxxfxyo故110)()(2xdyyfdxxfIxdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010Adyyfdxxf改变积分次序.练习题一、填空题:1、Ddyyxx)3(323________________.其中.10,10:yxD2、Ddyxx)cos(_______________.其中D是顶点分别为)0,0(，)0,(，),(的三角形闭区域.3、将二重积分Ddyxf),(,其中D是由x轴及半圆周)0(222yryx所围成的闭区域,化为先对y后对x的二次积分,应为_____________________.4、将二重积分Ddyxf),(,其中D是由直线2,xxy及双曲线)0(1xxy所围成的闭区域,化为先对x后对y的二次积分,应为__________________________.5、将二次积分22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序,应为_________________________.6、将二次积分xxdyyxfdxsin2sin0),(改换积分次序,应为_________________________.7、将二次积分2ln1),(2yedxyxfdy2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序