三角函数与解三角形

三角函数与解三角形测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2016·长春质检]已知tanα＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cosα＝()A.5B.4＋255C.4＋55D.5－25答案C解析由三角函数定义sinα＝255，cosα＝55，故sin2α＋cosα＝2sinαcosα＋cosα＝4＋55.故选C.2．[2016·西安八校联考]已知函数f(x)＝sin2x＋π4(x∈R)，为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，只需将y＝f(x)的图象()A．向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C．向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案A解析∵f(x)＝sin2x＋π4可变形为f(x)＝cosπ4－2x＝cos2x－π4，∴平移函数g(x)＝cos2x的图象，向右平移π8个单位长度，即可得到f(x)的图象．为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，只需将y＝f(x)的图象向左平移π8个单位．故选A.3．[2016·天津高考]在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B.2C．3D.4答案A解析设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.4．[2016·江南十校联考]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f(x)≤fπ3成立，则f(x)的一个对称中心坐标是()A.－2π3，0B.－π3，0C.2π3，0D.5π3，0答案A解析由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，由|φ|π2，得φ＝π3，故f(x)＝sin12x＋π3.令12x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－2π3(k∈Z)，故f(x)的对称中心为2kπ－2π3，0(k∈Z)，当k＝0时，f(x)的对称中心为－2π3，0，故选A.5．[2017·重庆检测]已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝15，则tanα2＝()A.13B.－13C.12D.－12答案B解析解法一：因为sinα＋cosα＝15，α是第四象限角，所以sinα＝－35，cosα＝45，则tanα2＝sinα2cosα2＝2sin2α22sinα2cosα2＝1－cosαsinα＝－13.解法二：因为α是第四象限角，sinα＋cosα＝15，则cosα＝45，α2是第二、四象限角，tanα2＝－sin2α2cos2α2＝－1－cosα21＋cosα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－451＋45＝－13.6.[2016·安庆二模]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)，如图所示，则f(x)的递增区间为()A.－π12＋2kπ，5π12＋2kπ，k∈ZB.－π12＋kπ，5π12＋kπ，k∈ZC.－π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈ZD.－π6＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z答案B解析解法一：由图象可知A＝2，34T＝11π12－π6＝3π4，所以T＝π，故ω＝2.由f1112π＝－2，得φ＝2kπ－π3(k∈Z)．∵|φ|π2，∴φ＝－π3.所以f(x)＝2sin2x－π3.由2x－π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，得x∈kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．解法二：34T＝11π12－π6＝3π4，所以T＝π，π6－T4＝π6－π4＝－π12，π6＋T4＝π6＋π4＝5π12，所以f(x)的递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．7．[2016·北京高考]将函数y＝sin2x－π3图象上的点Pπ4，t向左平移s(s0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则()A．t＝12，s的最小值为π6B.t＝32，s的最小值为π6C．t＝12，s的最小值为π3D.t＝32，s的最小值为π3答案A解析因为点Pπ4，t在函数y＝sin2x－π3的图象上，所以t＝sin2×π4－π3＝sinπ6＝12.又P′π4－s，12在函数y＝sin2x的图象上，所以12＝sin2π4－s，则2π4－s＝2kπ＋π6或2π4－s＝2kπ＋5π6，k∈Z，得s＝－kπ＋π6或s＝－kπ－π6，k∈Z.又s0，故s的最小值为π6.故选A.8．[2017·四川绵阳模拟]已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sin2θ＝2sin2β，则()A．cosβ＝2cosαB.cos2β＝2cos2αC．cos2β＋2cos2α＝0D.cos2β＝2cos2α答案D解析sinθ＋cosθ＝2sinα⇒1＋sin2θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2α，1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)，cos2β＝2cos2α，故选D.9．[2017·辽宁抚顺模拟]将函数f(x)＝2sin2x＋π6的图象向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到g(x)的图象．若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为()A.25π6B.35π6C.49π12D.17π4答案C解析由题意可得g(x)＝fx＋π12＋1＝2sin2x＋π3＋1，所以g(x)max＝3，又g(x1)g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝3，由g(x)＝2sin2x＋π3＋1＝3，得2x＋π3＝π2＋2kπ(k∈Z)，因为x1，x2∈[－2π，2π]，所以(2x2－x1)max＝2×π12＋π－π12－2π＝49π12，故选C.10．[2017·黑龙江、吉林八校期末]已知△ABC三边a，b，c上的高分别为12，22，1，则cosA等于()A.32B.－22C．－24D.－34答案C解析设△ABC面积为S⇒a＝4S，b＝22S，c＝2S⇒cosA＝222＋22－422×22×2＝－24，故选C.11.[2016·河北百校联盟联考]已知函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|，则下列结论中错误的是()A．f(x)是周期函数B．f(x)的对称轴方程为x＝kπ4，k∈ZC．f(x)在区间π4，3π4上为增函数D．方程f(x)＝65在区间－32π，0有6个根答案C解析因为fx＋π2＝sinx＋π2＋cosx＋π2＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，所以f(x)是周期为π2的函数，因为f(x)为偶函数，所以f(x)的对称轴方程为x＝kπ4，k∈Z，故A、B项正确；当x∈0，π2时，f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，作出函数f(x)的部分图象如图所示，由图象可知C项错误，D项正确．12．[2016·长春质检]在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD＋∠C＝90°，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B.直角三角形C．等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D解析如图，由题可知，∠BAD＋∠C＝∠B＋∠CAD＝90°，在△ABD中，BDsin∠BAD＝ADsinB＝BDcosC，在△ADC中，CDsin∠CAD＝ADsinC＝CDcosB，所以sinBcosC＝sinCcosB，即sin2B＝sin2C，所以B＝C或2B＋2C＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·浙江高考]已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0)，则A＋b＝________.答案2＋1解析由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4＋1，所以A＝2，b＝1，即A＋b＝2＋1.14．[2016·衡水大联考]已知sinα＋π3＝13，则sin2α－5π6＝________.答案79解析sin2α－5π6＝sin2α＋π3－3π2＝sin2α＋π3＋π2＝cos2α＋π3＝1－2sin2α＋π3＝1－2×132＝79.15．[2017·湖北四地七校联考]三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，问岛峰的高度AH＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)答案1255解析如图，由题意BC＝DE＝5步，设AH＝h步，BF＝123步，DG＝127步，BCAH＝BFHF，HF＝123h5步，同理HG＝127h5步，由题意得(HG－DG)－(HF－BF)＝1000步，即127h5－123h5－4＝1000，h＝1255.16．[2017·江西九江十校联考]已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且A＝30°，a＝1，D为BC的中点，则|AD→|2的最大值为________．答案43＋74解析AD→＝12(AB→＋AC→)，|AD→|2＝14(AB→＋AC→)2＝14(AB→2＋AC→2＋2|AB→|·|AC→|cosA)＝14c2＋b2＋2cb32＝14(b2＋c2＋3bc)．根据余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc＝32，又a＝1，得b2＋c2－1＝3bc，故b2＋c2＝3bc＋1，由b2＋c2＝3bc＋1≥2bc，得bc≤2＋3，|AD→|2＝14(23bc＋1)≤14(43＋7)．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2017·福建福州模拟](本小题满分10分)已知函数f(x)＝3sin2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(其中0ω1)，若点－π6，1是函数f(x)图象的一个对称中心．(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．解(1)f(x)＝3sin2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)(cos2ωx＋sin2ωx)＋1＝3sin2ωx＋cos2ωx＋1＝2sin2ωx＋π6＋1.(2分)∵点－π6，1是函数f(x)图象的一个对称中心，∴－ωπ3＋π6＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋12，k∈Z.∵0ω1，∴k＝0，ω＝12，∴f(x)＝2sinx＋π6＋1.(4分)由x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ＋π3，k∈Z，令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝π3.(5分)(2)由(1)知，f(x)＝2sinx＋π6＋1，当x∈[－π，π