轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

1轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。2例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=22)4(yx所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=20,241yyx,代入方程x2+y2－4x－10=0,得244)2()24(22xyx－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.3例3、如图,直线L1和L2相交于点M,L1L2,点NL1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为)0,(),0(22yxxxppxyBA，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22AAAApxpxpxpxANAMpNpM得由所以由①，②两式联立解得pxA4。再将其代入①式并由p0解得2214AAxpxp或因为△AMN是锐角三角形，所以Axp2，故舍去22Axp∴p=4,xA=14由点B在曲线段C上，得42||pBNxB。综上得曲线段C的方程为)0,41(82yxxy解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为轴，M为坐标原点。作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222yxxyCyxxxxyxxyxPCyxPNBBExAEAMMEENMExAMNDAAMDMyANDAMExBANBNAA的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于5例4、已知两点)2,0(),2,2(QP以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设)1,1(),,(ttBttA，则PA：),2)(2(222txttyQB：).1(112txtty消去t，得.082222yxyx当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是.0822222yxxyx6例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b由OM⊥AB，得k=－yx由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0所以x1x2=22kb,y1y2=kpb4，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2所以kpk4=－22kb,b=－4kp故y=kx+b=k(x－4p),得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.7解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有112121212122112221211144xxyyxxyyxxyyxyxyxypxypxy①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)若x1≠x2,则有2121214yypxxyy⑥①×②,得y12·y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=－16p2⑦⑥代入④，得yxyyp214⑧⑥代入⑤，得pyxyyxxyyyyp442111121所以211214)(44ypxyypyyp即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.①②③④⑤|8轨迹方程(练习1)1．(08、山东文22)已知曲线1C：||||1(0)xyabab所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C的内切圆半径为253，记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆2C的标准方程；(2)设AB是过椭圆2C中心的任意弦，L是线段AB的垂直平分线，M是L上异于椭圆中心的点．①若||MO＝λ||OA(O为坐标原点)，当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是L与椭圆2C的交点，求AMB的面积的最小值．9解：(1)由题意得22245253ababab4522ba，椭圆方程：2254xy＝1．(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A(AAyx，)．①由22154,xyykx2222220204545AAkxykk，2222220(1)||45AAkOAxyk．设M(x，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)|MO|2＝λ2|OA|22222220(1)45kxyk．因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝1xkk＝xy，代入上式有：22222222222220(1)20()4545xxyyxyxyxy，由022yx2225420xy，当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为22245xy，（λ0）．②当k存在且k0时，2222220204545AAkxykk，|OA|2＝222220(1)45AAkxyk．由221541xyyxk2222220205454MMkxykk，22220(1)||54kOMk．10222222111120(1)20(1)4554kkOAOMkk＝209．222119||||20OAOBOAOM||||OBOA≥940．||||221OBOASAMB＝||||OBOA≥940，当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝1时等号成立．当14002522529AMBkS，；当k不存在时，140542529AMBS．综上所述，AMB的面积的最小值为409．112．（07、江西理21）设动点P到点(10)A，和(10)B，的距离分别为1d和2d，2APB，且存在常数(01)，使得212sindd．(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2)过点B作直线与双曲线C的右支于MN，两点，试确定的范围，使OM·ON＝0，其中点O为坐标原点．12解：(1)在PAB△中，2AB，即222121222cos2dddd，2212124()4sindddd，即2121244sin212dddd（常数），点P的轨迹C是以AB，为焦点，实轴长221a的双曲线，方程为：2211xy．（2）设11()Mxy，，22()Nxy，①当MN垂直于x轴时，MN的方程为1x，(11)M，，(11)N，在双曲线上．即2111511012，因为01，所以512．②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为(1)ykx．由2211(1)xyykx得：2222(1)2(1)(1)()0kxkxk，由题意知：2(1)0k21222(1)(1)kxxk，2122(1)()(1)kxxk22212122(1)(1)(1)kyykxxk．由OM·ON＝0，且MN，在双曲线右支上，13所以2121222122212(1)0(1)5121011231001xxyykxxkxx．由①②知32215．3．（09、海南）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，2OPeOM（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．14解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得71cacaa＝4，c＝3椭圆C的方程为221167xy．（2）设M（x，y），P（0x，0y）．其中0x∈[－4，4]，0x＝x．有22001167xy……①由OPeOM得：2240022xyexy＝169．故22220016()9()xyxy【下面是寻找关系式0x＝f（x，y），0y＝g（x，y）的过程】又167112220220xyxx……………………………………②②式代入①：22001167xy并整理得：47(44)3yx，所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段．15轨迹方程(练习2)4．（09、重庆理）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为433y，离心率32e，M是椭圆上的动点．(1)若C、D的坐标分别是(0，√3)、(0，－√3)，求||MC·||MD的最大值；21世纪教育网(2)如图，点A的坐标为(1，0)，点B是圆221xy上的点，点N是点M(椭圆上的点)在x轴上的射影，点Q满足条件：OQ＝OM＋ON，QA·BA＝0．求线段QB的中点P的轨迹方程．16解：(1)设椭圆方程为：22221xyab（a＞b＞0）．准线方程433y＝ca2，32e＝ac2a，32c1b椭圆方程为：2214yx．所以：C、D是椭圆2214yx的两个焦点||MC＋||MD＝4．||MC·||MD≤4)2||||(2MDMC，当且仅当||MC＝||MD，即点M的坐标为(1,0)时上式取等号||MC·||MD的最大值为4．(2)设M(,),(,)mmBBxyBxy，(,)QQQxy，N(0，mx)4422mmyx，122BByx．由OQ＝OM＋ONmQxx2，mQyy4)2(2222mmQQyxyx………①由QA·BA＝0(QQyx，1)·(BByx，1)＝(Qx1)(Bx1)＋BQyy＝0BQBQyyxx1BQxx…………②记P点的坐标为(Px，Py)，