3易错专题等腰三角形中易漏解或多解的问题

易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题◆类型一求长度时忽略三边关系【易错1】1．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为()A．12B．16C．20D．16或202．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________．3．(2017·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，9，则x＝________．4．已知等腰三角形ABC中，腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长．◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为()A．100°B．40°C．40°或100°D．60°6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．7．(2017·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________．8．有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是____________________．9．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数．◆类型三三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论10．(2017·绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交BC于点D.若AD＝12BC，则△ABC的顶角度数为______________．11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】◆类型四一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】12．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有()A．4个B．6个C．7个D．8个第12题图第13题图13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．14．如图是6×6的正方形网格，点A，B均在正方形格点上，在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，简要写出步骤并标出点C的位置．参考答案与解析1．C2.不正确没考虑三角形的三边关系3.34．解：设腰长为xcm，分两种情况考虑：①腰长与腰长的一半是9cm时，即x＋12x＝9，解得x＝6，∴底边长为15－12×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm时，即x＋12x＝15，解得x＝10，∴底边长为9－12×10＝4(cm)，∴三角形的三边长为10cm，10cm，4cm，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm，底边长为4cm.5．C6.120°或20°7．30°或90°解析：设最小角的度数为x，则最大角的度数为x＋45°.当最小角是顶角时，则x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得x＝30°，此时三角形顶角的度数为30°.当最大角为顶角时，则x＋x＋45°＋x＝180°，解得x＝45°，此时三角形顶角的度数为90°.综上所述，等腰三角形的顶角为30°或90°.8．40°或25°或10°解析：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD有三种情况：①AB＝BD，则∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝100°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝40°；②AB＝AD，则∠ADB＝(180°－∠A)÷2＝50°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝130°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝25°；③AD＝BD，则∠ABD＝∠A＝80°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝160°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝10°.综上所述，∠C的度数可以是40°或25°或10°.9．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，则∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝∠CDA＋∠BAD＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，则∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°；(3)如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，则∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°.(4)如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝180°－x2，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝180°－x2－x.∵CD＝BC，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x＝∠DBC＝180°－x2－x，∴x＝180°7，即∠A＝180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7.10．30°或150°或90°解析：(1)当BC为腰时，∵AD⊥BC，AD＝12BC，∴∠ACD＝30°.如图①，当AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°.如图②，当AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°－30°＝150°；(2)当BC为底时，如图③.∵AD⊥BC，AD＝12BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝12×180°＝90°，即顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°.11．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①所示，腰上的高在三角形外部．由题意得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.12．D解析：∵点A的坐标为(2，2)，∴△OAP的边OA＝22，这条边可能是底边也可能是腰．①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2，0)和(0，2)；②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(22，0)，(－22，0)，(0，22)，(0，－22)；③当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条件的点P共有8个，故选D.13．5解析：如图，分别以AB为腰、底找等腰三角形，故符合条件的C点有5个．第13题图第14题图14．解：如图，(1)当BA＝BC时，符合条件的有C1，C2；(2)当AB＝AC时，符合条件的有C3，C4；(3)当CA＝CB时，符合条件的有C5，C6，C7，C8，C9，C10.综上所述，符合条件的C点有10个．