定积分的概念第1课时

§1.5.1曲边梯形的面积【学情分析】：本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。学生对这个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透.【教学目标】：（1）知识与技能：定积分概念的引入（2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立奎屯王新敞新疆（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。【教学重点】：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。【教学难点】：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。【教学过程设计】：一、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：如果函数()yfx在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()yfx称为区间I上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）二、新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()yfx的一段，我们把由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影部分是由抛物线2yx，直线1x以及x轴所围成的平面图形的面积S。思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．把区间0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代xxx1x1xy1xyy取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．解：（1）．分割在区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn，其长度为：11iixnnn分别过上述1n个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S，2S，…，nS，显然，1niiSS（2）近似代替记2fxx，如图所示，当n很大，即x很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数2fxx的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1in处的函数值1ifn，从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,iinn上，用小矩形的面积iS近似的代替iS，即在局部范围内“以直代取”，则有211iiiiSSfxxnn211(1,2,,)iinnn①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积nS为2111111nnnniiiiiiSSfxnnn=22111110nnnnnn=22231121nn=312116nnnn=1111132nn从而得到S的近似值1111132nSSnn（4）取极限分别将区间0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时，1111132nSnn趋向于S，从而有ini-1n1Oyxy=x2ini-1n1Oyxy=x21()ifn1111111limlimlim11323nnnnniiSSfnnnn从数值上的变化趋势：三、求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．将,ab分为n等份，每份区间长为ban第二步：近似代替，“以直代取”：'iiSS，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.第三步：求和：12'''nnSSSS第四步：取极限：limnnSSban说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值四、练习．求20,0,22xyxxy围成图形面积解：1．分割在区间0,2上等间隔地插入1n个点，将区间0,2等分成n个小区间：20,n，24,nn，…，21,1nn记第i个区间为212,(1,2,,)iiinnn，其长度为：2122iixnnn分别过上述1n个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S，2S，…，nS，显然，1niiSS（2）近似代替∵22yxx，当n很大，即x很小时，在区间212,(1,2,,)iiinnn上，可以认为函数22yxx的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点21in处的函数值221212iinn，这样，在区间212,iinn上，用小矩形的面积iS近似的代替iS，即在局部范围内“以直代取”，则有221212iiiiSSxnn2212122iinnn①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积nS为211212122nnniiiiiSSnnn=111241niiinnn=231811niniin=22223880121121nnnn=2311218826nnnnnnn从而得到S的近似值2311218826nnnnnnSSnn（4）取极限2311121884limlim263nnnninnnnnSSnn练习设S表示由曲线xy，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。五：课堂小结求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近（“以直代曲”的思想）