复合函数的导数

§1.2.3复合函数的导数【学情分析】：在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.【教学目标】：(1)理解掌握复合函数的求导法则.(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导奎屯王新敞新疆(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．【教学重点】：简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.【教学难点】：复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、情景引入回忆我们上一节课的例1，如果式子()(15%)tptp中某商品的5p，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据上一节课的内容，我们知道，求在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度，只需求p关于t的导数.但是如何求()51.05tpt关于t的导数呢？我们需要用到新的知识，即“导数的运算法则”.从实际生活的例子出发，使学生对导数的运算法则有一个更深刻的认识。二、讲授新课（1）导数的四则运算导数的四则运算公式：'''1.[()()]()()fxgxfxgx；'''2.[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx；'''2()()()()()3.[](()0)()[()]fxfxgxfxgxgxgxgx例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数。（1）323yxx（2）2325yxx（3）sinxyx导数的乘、除运算比较容易出错，要强调，引起注意.（2）复合函数的定义.一般地，对于两个函数()()yfuugx和，如果通过变量,uy可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()()yfuugx和的复合函数.例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？直接给出定义,并与基本初等函数相区别和联系.(1)32)2(xy；⑵2sinxy；⑶cos()4yx⑷)13sin(lnxy．例2、写出由下列函数复合而成的函数：⑴uycos，21xu；⑵uyln，xuln．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．（3）复合函数的导数思考：如何求函数ln(2)yx的导数？复合函数(())yfgx的导数和函数(),()yfuugx的导数间的关系为'''xuxyyu.例3、求下列函数的导数：（1）2(23)yx；（2）0.051xye；（3）sin()(,)yx其中均为常数对于（1）①能否用学过四则运算解决问题?②新方法：将函数2(32)yx看作是函数2yu和函数32ux复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uyuu，(32)3xux两个导数相乘，得232(32)31812uxyuuxx，从而有xuxuyy'''对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同。（学生自主完成（2）、（3））。两种方法作对照与比较,体会不同的解决方法与策略.鼓励学生模仿并及时修正.例4、求y=sin2(2x+3)的导数分析:设u=sin(2x+3)时，求'xu，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+3.解略.三、巩固与提升1、求2sin(tan)yx的导数．解：'2'222[sin(tan)]cos(tan)sec()2yxxxx2222cos(tan)sec()xxx'2222cos(tan)sec()yxxx【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．2、求22xayxax的导数．解：22'22212()222xaxaxxaxaxyxax22222222(2)22aaxaxxaxxaxxax22'222(2)axaxyxax【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．3、求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－21sin22x＝1－41（1－cos4x）＝43＋41cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．4、曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－31或x＝1．于是切点为P（1，2），Q（－31，－2714），过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为114|1|3272＝16227．四、课堂小结⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.(11)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3练习与测试:1．填空：(1)2222)1()()1)(()1(xxxxx；(2)xxxxx222sin4))(1(sin)()sin21(2.求下列函数的导数：(1)y=xaxa(2)y=232xx(3)y=tanx(4)y=xcos113.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.222sin)cos1(2)cos1(xxxxxxx4.求y=xxsin12的导数.5.求y=xxxcos423的导数.6.求函数y=(2x2－3)21x的导数.参考答案:1．(1)∵22222)1()1()1()1(xxxxxxx222)1()2()1)(1(xxxx(2)2222)sin2()sin2)(1(sin2)1()sin21(xxxxxxxxxxxxxxxxx2222sin4)cos2)(1(sin)4(sin4)cos2)(1(sin222.(1)y′=(xaxa)′2)())(()()(xaxaxaxaxa22)(2)()()(xaaxaxaxa(2)y′=(232xx)′2222)3()3)(2()3()2(xxxxx342423491239)6)(2(3xxxxxxxxx(3)y′=(tanx)′=(xxcossin)′2)(cos)(cossincos)(sinxxxxxxxxxx22222seccos1cossincos(4)y′=(xcos11)′2)cos1()cos1(1)cos1(1xxx＝22)cos1(sin)cos1(sin)cos1(0xxxxx3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.2222231cos(1cos)(1cos)()()()sin2cos2xxxxxxxxxxx4.y′=(xxsin12)′222)(sin))(sin1(sin)1(xxxxxxxxxx22sincos)1(sin25.y′=(xxxcos423)′222323)cos()cos)(4(cos)4(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos3xxxxx22sincos)1(sin25.y′=(xxxcos423)′222323)cos()cos)(4(cos)4(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos36.分析:y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，21x是复合函数，可以先算出21x对x的导数.令y=uv，u=2x2－3，v=21x,令v=，ω=1+x2xxvv=()(1+x2)x′=22211122)2(21xxxxx∴yx′=(uv)x′=ux′v+uvx′=(2x2－3)x′·21x+(2x2－3)·21xx=4x23232161321xxxxxxx即yx′=2316xxx.